Exercicis de límits i continuïtat

Pas 1 — el pendent.

$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{3x^{2} - 3x - 5}{x(x - 3)} = 3$

(numerador i denominador són de grau $2$: quocient dels coeficients principals).

Pas 2 — l'ordenada.

$f(x) - 3x = \frac{3x^{2} - 3x - 5 - 3x(x - 3)}{x - 3} = \frac{6x - 5}{x - 3}$

i el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients de grau $1$: $n = 6$.

Resultat: l'asímptota obliqua és $y = 3x + 6$.

Comprovació ràpida: dividint el polinomi, $3x^{2} - 3x - 5 = (x - 3)(3x + 6) + 13$, i el quocient de la divisió és justament l'asímptota.

Per la dreta ($x > 3$) mana el segon tros, $x^{2}$:

$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^{2} = 9$

L'altre lateral no compta: un límit lateral només mira un costat.

Amb $x \to -3$, el numerador és $5 \neq 0$ i el denominador tendeix a $0$: el quocient se'n va a infinit (amb un signe a cada costat). Almenys un dels laterals és infinit, així que és una discontinuïtat de salt infinit: hi ha una asímptota vertical $x = -3$.

Un polinomi és continu a tot $\mathbb{R}$, així que Bolzano s'hi pot aplicar: si $p(a)$ i $p(b)$ tenen signes contraris, hi ha almenys una arrel a $(a, b)$.

• $[-3, -2]$: $p(-3) = 11$ (+) i $p(-2) = 10$ (+) → mateix signe
• $[-2, -1]$: $p(-2) = 10$ (+) i $p(-1) = 3$ (+) → mateix signe
• $[-1, 0]$: $p(-1) = 3$ (+) i $p(0) = -4$ (-) → canvi de signe

Només a $[-1, 0]$ hi ha canvi de signe: allà Bolzano assegura una arrel. Als altres, amb el mateix signe als extrems, el teorema no diu res (hi podria haver zero arrels o dues).

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 1$: numerador $-1 \cdot 1 + 3 = 2$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $1$, val gairebé $2$: és positiu.

• Per l'esquerra ($x$ una mica més petit que $1$), $x - 1$ és un número petit negatiu.
• Per la dreta ($x$ una mica més gran que $1$), $x - 1$ és un número petit positiu.

Així, el quocient és positiu entre negatiu per l'esquerra i positiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.

Resultat: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{-1}{1} = -1$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = -1$ val pels dos costats.

Amb $x \to 4$, el numerador és $-1 \neq 0$ i el denominador tendeix a $0$: el quocient se'n va a infinit (amb un signe a cada costat). Almenys un dels laterals és infinit, així que és una discontinuïtat de salt infinit: hi ha una asímptota vertical $x = 4$.

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 1$: numerador $-1 \cdot 1 + 3 = 2$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $1$, val gairebé $2$: és positiu.

• El denominador és un quadrat, $(x - 1)^{2}$: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.

Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (positiu).

Resultat: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

El denominador és de grau més alt (2 contra 1): quan $x$ es fa enorme, el quocient s'aixafa cap a zero.

$k = 0$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 0$ val pels dos costats.

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 2$: numerador $1 \cdot 2 + 1 = 3$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $2$, val gairebé $3$: és positiu.

• Per l'esquerra ($x$ una mica més petit que $2$), $x - 2$ és un número petit negatiu.
• Per la dreta ($x$ una mica més gran que $2$), $x - 2$ és un número petit positiu.

Així, el quocient és positiu entre negatiu per l'esquerra i positiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.

Resultat: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.