Exercicis de límits i continuïtat

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $2$

El denominador creix més ràpid, per tant el quocient s'aixafa cap a zero.

Resultat: $0$.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = -1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = -1$:

$-4 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = -1$:

$(-1)^2 + 5 = 6$

Els igualem i aïllem $k$:

$-4 + k = 6 \quad\Longrightarrow\quad k = 6 - (-4) = 10$

Comprovació: amb $k = 10$, els dos trossos valen $6$ a $x = -1$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-3 + k$

Per la dreta: $3$

Igualant i aïllant:

$k = 6$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $3$

El denominador creix més ràpid, per tant el quocient s'aixafa cap a zero.

Resultat: $0$.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = -1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = -1$:

$-4 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = -1$:

$(-1)^2 - 2 = -1$

Els igualem i aïllem $k$:

$-4 + k = -1 \quad\Longrightarrow\quad k = -1 - (-4) = 3$

Comprovació: amb $k = 3$, els dos trossos valen $-1$ a $x = -1$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-3 + k$

Per la dreta: $-2$

Igualant i aïllant:

$k = 1$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $2$
• Grau del denominador: $1$

El numerador creix més ràpid, per tant el quocient se'n va cap a infinit.

Resultat: infinit.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $3 + k$

Per la dreta: $9$

Igualant i aïllant:

$k = 6$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $3$.

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $2$
• Grau del denominador: $2$

Empaten en grau, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Perquè una funció a trossos sigui contínua en el punt d'empalmament, els dos límits laterals han de valer el mateix i ser finits.

Per l'esquerra: $\lim_{x \to 3^-} (x + k) = 3 + k$, que és un número, depengui de $k$ el que depengui.

Per la dreta: $\lim_{x \to 3^+} \dfrac{1}{x - 3} = +\infty$, perquè el denominador tendeix a zero.

Un número mai no serà igual a infinit, faci el que faci la $k$. La funció té una asímptota vertical a $x = 3$ i la discontinuïtat no és evitable.

La lliçó: abans de posar-te a resoldre l'equació dels límits, mira si els dos costats donen un número. Si un se'n va a infinit, ja has acabat.