Exercicis de límits i continuïtat

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+9} + \sqrt{9}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+9} - \sqrt{9})(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}) = (x+9) - 9 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{4 x\left(\sqrt{x+9} + \sqrt{9}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{4\left(\sqrt{9} + \sqrt{9}\right)} = \frac{1}{8\sqrt{9}} \approx 0.0417$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = -2$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Ha de sortir el factor $(x + 2)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $-2$ però no hi és):

$\frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = x + 3$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to -2} (x + 3) = -2 - (-3) = 1$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $3$
• Grau del denominador: $1$

El numerador creix més ràpid, per tant el quocient se'n va cap a infinit.

Resultat: infinit.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 3$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 3$:

$12 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 3$:

$3^2 + 1 = 10$

Els igualem i aïllem $k$:

$12 + k = 10 \quad\Longrightarrow\quad k = 10 - 12 = -2$

Comprovació: amb $k = -2$, els dos trossos valen $10$ a $x = 3$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-1 + k$

Per la dreta: $1$

Igualant i aïllant:

$k = 2$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = -2$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 4 x - 12 = (x + 2)(x - 6)$

Ha de sortir el factor $(x + 2)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $-2$ però no hi és):

$\frac{(x + 2)(x - 6)}{x + 2} = x - 6$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to -2} (x - 6) = -2 - 6 = -8$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $3$
• Grau del denominador: $2$

El numerador creix més ràpid, per tant el quocient se'n va cap a infinit.

Resultat: infinit.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 3$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 3$:

$12 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 3$:

$3^2 + 5 = 14$

Els igualem i aïllem $k$:

$12 + k = 14 \quad\Longrightarrow\quad k = 14 - 12 = 2$

Comprovació: amb $k = 2$, els dos trossos valen $14$ a $x = 3$. Enganxen.

Perquè una funció a trossos sigui contínua en el punt d'empalmament, els dos límits laterals han de valer el mateix i ser finits.

Per l'esquerra: $\lim_{x \to -1^-} (x + k) = -1 + k$, que és un número, depengui de $k$ el que depengui.

Per la dreta: $\lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x + 1} = +\infty$, perquè el denominador tendeix a zero.

Un número mai no serà igual a infinit, faci el que faci la $k$. La funció té una asímptota vertical a $x = -1$ i la discontinuïtat no és evitable.

La lliçó: abans de posar-te a resoldre l'equació dels límits, mira si els dos costats donen un número. Si un se'n va a infinit, ja has acabat.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = -2$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

Ha de sortir el factor $(x + 2)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $-2$ però no hi és):

$\frac{(x + 2)(x - 1)}{x + 2} = x - 1$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to -2} (x - 1) = -2 - 1 = -3$