Exercicis de límits i continuïtat

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-2 + k$

Per la dreta: $1$

Igualant i aïllant:

$k = 3$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 4$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 9 x + 20 = (x - 4)(x - 5)$

Ha de sortir el factor $(x - 4)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $4$ però no hi és):

$\frac{(x - 4)(x - 5)}{x - 4} = x - 5$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 4} (x - 5) = 4 - 5 = -1$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $3$

El denominador creix més ràpid, per tant el quocient s'aixafa cap a zero.

Resultat: $0$.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = -1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = -1$:

$-2 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = -1$:

$(-1)^2 - 2 = -1$

Els igualem i aïllem $k$:

$-2 + k = -1 \quad\Longrightarrow\quad k = -1 - (-2) = 1$

Comprovació: amb $k = 1$, els dos trossos valen $-1$ a $x = -1$. Enganxen.

Perquè una funció a trossos sigui contínua en el punt d'empalmament, els dos límits laterals han de valer el mateix i ser finits.

Per l'esquerra: $\lim_{x \to -1^-} (2 x + k) = -2 + k$, que és un número, depengui de $k$ el que depengui.

Per la dreta: $\lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x + 1} = +\infty$, perquè el denominador tendeix a zero.

Un número mai no serà igual a infinit, faci el que faci la $k$. La funció té una asímptota vertical a $x = -1$ i la discontinuïtat no és evitable.

La lliçó: abans de posar-te a resoldre l'equació dels límits, mira si els dos costats donen un número. Si un se'n va a infinit, ja has acabat.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 4$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$

Ha de sortir el factor $(x - 4)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $4$ però no hi és):

$\frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 4} = x + 3$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 4} (x + 3) = 4 - (-3) = 7$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $1$

Empaten en grau, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = -1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = -1$:

$-3 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = -1$:

$(-1)^2 + 1 = 2$

Els igualem i aïllem $k$:

$-3 + k = 2 \quad\Longrightarrow\quad k = 2 - (-3) = 5$

Comprovació: amb $k = 5$, els dos trossos valen $2$ a $x = -1$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-2 + k$

Per la dreta: $3$

Igualant i aïllant:

$k = 5$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 4$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 10 x + 24 = (x - 4)(x - 6)$

Ha de sortir el factor $(x - 4)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $4$ però no hi és):

$\frac{(x - 4)(x - 6)}{x - 4} = x - 6$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 4} (x - 6) = 4 - 6 = -2$