Exercicis de límits i continuïtat

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $3$
• Grau del denominador: $3$

Empaten en grau, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\frac{2}{1} = 2$

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 3$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 3$:

$12 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 3$:

$3^2 - 2 = 7$

Els igualem i aïllem $k$:

$12 + k = 7 \quad\Longrightarrow\quad k = 7 - 12 = -5$

Comprovació: amb $k = -5$, els dos trossos valen $7$ a $x = 3$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-1 + k$

Per la dreta: $3$

Igualant i aïllant:

$k = 4$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 4$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 6 x + 8 = (x - 4)(x - 2)$

Ha de sortir el factor $(x - 4)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $4$ però no hi és):

$\frac{(x - 4)(x - 2)}{x - 4} = x - 2$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 4} (x - 2) = 4 - 2 = 2$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $1$

Empaten en grau, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = -1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = -1$:

$-2 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = -1$:

$(-1)^2 + 1 = 2$

Els igualem i aïllem $k$:

$-2 + k = 2 \quad\Longrightarrow\quad k = 2 - (-2) = 4$

Comprovació: amb $k = 4$, els dos trossos valen $2$ a $x = -1$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-1 + k$

Per la dreta: $-2$

Igualant i aïllant:

$k = -1$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 4$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 7 x + 12 = (x - 4)(x - 3)$

Ha de sortir el factor $(x - 4)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $4$ però no hi és):

$\frac{(x - 4)(x - 3)}{x - 4} = x - 3$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 4} (x - 3) = 4 - 3 = 1$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $2$

El denominador creix més ràpid, per tant el quocient s'aixafa cap a zero.

Resultat: $0$.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = -1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = -1$:

$-2 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = -1$:

$(-1)^2 + 5 = 6$

Els igualem i aïllem $k$:

$-2 + k = 6 \quad\Longrightarrow\quad k = 6 - (-2) = 8$

Comprovació: amb $k = 8$, els dos trossos valen $6$ a $x = -1$. Enganxen.