Exercicis de límits i continuïtat

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 1$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 1$:

$4 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 1$:

$1^2 - 2 = -1$

Els igualem i aïllem $k$:

$4 + k = -1 \quad\Longrightarrow\quad k = -1 - 4 = -5$

Comprovació: amb $k = -5$, els dos trossos valen $-1$ a $x = 1$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $3 + k$

Per la dreta: $1$

Igualant i aïllant:

$k = -2$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $1$.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+3} + \sqrt{3}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+3} - \sqrt{3})(\sqrt{x+3} + \sqrt{3}) = (x+3) - 3 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{2 x\left(\sqrt{x+3} + \sqrt{3}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{2\left(\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)} = \frac{1}{4\sqrt{3}} \approx 0.1443$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = -1$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = e^{-1} \approx 0.3679$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 2$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 2)(x - 1)$

Ha de sortir el factor $(x - 2)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $2$ però no hi és):

$\frac{(x - 2)(x - 1)}{x - 2} = x - 1$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $2$
• Grau del denominador: $1$

El numerador creix més ràpid, per tant el quocient se'n va cap a infinit.

Resultat: infinit.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 2$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 2$:

$4 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 2$:

$2^2 + 1 = 5$

Els igualem i aïllem $k$:

$4 + k = 5 \quad\Longrightarrow\quad k = 5 - 4 = 1$

Comprovació: amb $k = 1$, els dos trossos valen $5$ a $x = 2$. Enganxen.

Perquè una funció a trossos sigui contínua en el punt d'empalmament, els dos límits laterals han de valer el mateix i ser finits.

Per l'esquerra: $\lim_{x \to 1^-} (3 x + k) = 3 + k$, que és un número, depengui de $k$ el que depengui.

Per la dreta: $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1} = +\infty$, perquè el denominador tendeix a zero.

Un número mai no serà igual a infinit, faci el que faci la $k$. La funció té una asímptota vertical a $x = 1$ i la discontinuïtat no és evitable.

La lliçó: abans de posar-te a resoldre l'equació dels límits, mira si els dos costats donen un número. Si un se'n va a infinit, ja has acabat.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+5} - \sqrt{5})(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}) = (x+5) - 5 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{2 x\left(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{2\left(\sqrt{5} + \sqrt{5}\right)} = \frac{1}{4\sqrt{5}} \approx 0.1118$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Compte amb aquesta: la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, i un elevat a infinit no és un. És una indeterminació, i justament la que defineix el nombre $e$.

La fórmula que has de tenir memoritzada és:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$

Aquí $k = -2$, o sigui:

$\lim_{x\to\infty}\left(1 - \frac{2}{x}\right)^x = e^{-2} \approx 0.1353$

Si l'expressió no té exactament aquesta forma, el mètode general és prendre logaritmes: $L = e^{\lim\, (\text{exponent}) \cdot (\text{base} - 1)}$.