Exercicis de límits i continuïtat

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = -3$: numerador $1 \cdot (-3) + 1 = -2$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $-3$, val gairebé $-2$: és negatiu.

• Per l'esquerra ($x$ una mica més petit que $-3$), $x - (-3)$ és un número petit negatiu.
• Per la dreta ($x$ una mica més gran que $-3$), $x - (-3)$ és un número petit positiu.

Així, el quocient és negatiu entre negatiu per l'esquerra i negatiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.

Resultat: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{2}{1} = 2$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 2$ val pels dos costats.

Pas 1 — el pendent.

$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{2} + 2}{x(x - 1)} = 1$

(numerador i denominador són de grau $2$: quocient dels coeficients principals).

Pas 2 — l'ordenada.

$f(x) - x = \frac{x^{2} + 2 - x(x - 1)}{x - 1} = \frac{x + 2}{x - 1}$

i el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients de grau $1$: $n = 1$.

Resultat: l'asímptota obliqua és $y = x + 1$.

Comprovació ràpida: dividint el polinomi, $x^{2} + 2 = (x - 1)(x + 1) + 3$, i el quocient de la divisió és justament l'asímptota.

Per l'esquerra ($x < 1$) mana el primer tros, $2x + 1$:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

L'altre lateral no compta: un límit lateral només mira un costat.

A $x = 1$ el denominador s'anul·la: $f$ no hi està definida i, per tant, no és contínua.

Factoritzant, $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1)(x - 3)$, i per a $x \neq 1$:

$f(x) = x - 3$

Els dos laterals valen $1 - 3 = -2$: existeixen, són finits i iguals. És una discontinuïtat evitable (n'hi hauria prou de definir $f(1) = -2$).

Un polinomi és continu a tot $\mathbb{R}$, així que Bolzano s'hi pot aplicar: si $p(a)$ i $p(b)$ tenen signes contraris, hi ha almenys una arrel a $(a, b)$.

• $[-4, -3]$: $p(-4) = -51$ (-) i $p(-3) = -17$ (-) → mateix signe
• $[-3, -2]$: $p(-3) = -17$ (-) i $p(-2) = -1$ (-) → mateix signe
• $[-2, -1]$: $p(-2) = -1$ (-) i $p(-1) = 3$ (+) → canvi de signe

Només a $[-2, -1]$ hi ha canvi de signe: allà Bolzano assegura una arrel. Als altres, amb el mateix signe als extrems, el teorema no diu res (hi podria haver zero arrels o dues).

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = -3$: numerador $1 \cdot (-3) + 1 = -2$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $-3$, val gairebé $-2$: és negatiu.

• El denominador és un quadrat, $(x + 3)^{2}$: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.

Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (negatiu).

Resultat: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

El denominador és de grau més alt (2 contra 1): quan $x$ es fa enorme, el quocient s'aixafa cap a zero.

$k = 0$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 0$ val pels dos costats.

Pas 1 — el pendent.

$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{2} + 1}{x(x - 3)} = 1$

(numerador i denominador són de grau $2$: quocient dels coeficients principals).

Pas 2 — l'ordenada.

$f(x) - x = \frac{x^{2} + 1 - x(x - 3)}{x - 3} = \frac{3x + 1}{x - 3}$

i el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients de grau $1$: $n = 3$.

Resultat: l'asímptota obliqua és $y = x + 3$.

Comprovació ràpida: dividint el polinomi, $x^{2} + 1 = (x - 3)(x + 3) + 10$, i el quocient de la divisió és justament l'asímptota.

Per la dreta ($x > 3$) mana el segon tros, $x^{2}$:

$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^{2} = 9$

L'altre lateral no compta: un límit lateral només mira un costat.