Exercicis de límits i continuïtat

Pas 1 — el pendent.

$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{2} - 3x + 1}{x(x - 1)} = 1$

(numerador i denominador són de grau $2$: quocient dels coeficients principals).

Pas 2 — l'ordenada.

$f(x) - x = \frac{x^{2} - 3x + 1 - x(x - 1)}{x - 1} = \frac{-2x + 1}{x - 1}$

i el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients de grau $1$: $n = -2$.

Resultat: l'asímptota obliqua és $y = x - 2$.

Comprovació ràpida: dividint el polinomi, $x^{2} - 3x + 1 = (x - 1)(x - 2) - 1$, i el quocient de la divisió és justament l'asímptota.

Per la dreta ($x > 1$) mana el segon tros, $x^{2}$:

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^{2} = 1$

L'altre lateral no compta: un límit lateral només mira un costat.

A $x = 2$ el denominador s'anul·la: $f$ no hi està definida i, per tant, no és contínua.

Factoritzant, $x^{2} - 7 x + 10 = (x - 2)(x - 5)$, i per a $x \neq 2$:

$f(x) = x - 5$

Els dos laterals valen $2 - 5 = -3$: existeixen, són finits i iguals. És una discontinuïtat evitable (n'hi hauria prou de definir $f(2) = -3$).

Un polinomi és continu a tot $\mathbb{R}$, així que Bolzano s'hi pot aplicar: si $p(a)$ i $p(b)$ tenen signes contraris, hi ha almenys una arrel a $(a, b)$.

• $[-4, -3]$: $p(-4) = -83$ (-) i $p(-3) = -35$ (-) → mateix signe
• $[-3, -2]$: $p(-3) = -35$ (-) i $p(-2) = -9$ (-) → mateix signe
• $[-2, -1]$: $p(-2) = -9$ (-) i $p(-1) = 1$ (+) → canvi de signe

Només a $[-2, -1]$ hi ha canvi de signe: allà Bolzano assegura una arrel. Als altres, amb el mateix signe als extrems, el teorema no diu res (hi podria haver zero arrels o dues).

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = -3$: numerador $-1 \cdot (-3) + 3 = 6$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $-3$, val gairebé $6$: és positiu.

• Per l'esquerra ($x$ una mica més petit que $-3$), $x - (-3)$ és un número petit negatiu.
• Per la dreta ($x$ una mica més gran que $-3$), $x - (-3)$ és un número petit positiu.

Així, el quocient és positiu entre negatiu per l'esquerra i positiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.

Resultat: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{2}{2} = 1$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 1$ val pels dos costats.

Pas 1 — el pendent.

$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x^{2} - 5}{x(x - 3)} = 2$

(numerador i denominador són de grau $2$: quocient dels coeficients principals).

Pas 2 — l'ordenada.

$f(x) - 2x = \frac{2x^{2} - 5 - 2x(x - 3)}{x - 3} = \frac{6x - 5}{x - 3}$

i el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients de grau $1$: $n = 6$.

Resultat: l'asímptota obliqua és $y = 2x + 6$.

Comprovació ràpida: dividint el polinomi, $2x^{2} - 5 = (x - 3)(2x + 6) + 13$, i el quocient de la divisió és justament l'asímptota.

Per l'esquerra ($x < 3$) mana el primer tros, $2x + 5$:

$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2 \cdot 3 + 5 = 11$

L'altre lateral no compta: un límit lateral només mira un costat.

A $x = -1$ el denominador s'anul·la: $f$ no hi està definida i, per tant, no és contínua.

Factoritzant, $x^{2} + 5 x + 4 = (x + 1)(x + 4)$, i per a $x \neq -1$:

$f(x) = x + 4$

Els dos laterals valen $-1 - (-4) = 3$: existeixen, són finits i iguals. És una discontinuïtat evitable (n'hi hauria prou de definir $f(-1) = 3$).

Un polinomi és continu a tot $\mathbb{R}$, així que Bolzano s'hi pot aplicar: si $p(a)$ i $p(b)$ tenen signes contraris, hi ha almenys una arrel a $(a, b)$.

• $[-4, -3]$: $p(-4) = -82$ (-) i $p(-3) = -34$ (-) → mateix signe
• $[-3, -2]$: $p(-3) = -34$ (-) i $p(-2) = -8$ (-) → mateix signe
• $[-2, -1]$: $p(-2) = -8$ (-) i $p(-1) = 2$ (+) → canvi de signe

Només a $[-2, -1]$ hi ha canvi de signe: allà Bolzano assegura una arrel. Als altres, amb el mateix signe als extrems, el teorema no diu res (hi podria haver zero arrels o dues).