Exercicis de límits i continuïtat

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+5} - \sqrt{5})(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}) = (x+5) - 5 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{3 x\left(\sqrt{x+5} + \sqrt{5}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{3\left(\sqrt{5} + \sqrt{5}\right)} = \frac{1}{6\sqrt{5}} \approx 0.0745$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = -1$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1)(x - 3)$

Ha de sortir el factor $(x + 1)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $-1$ però no hi és):

$\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = x - 3$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to -1} (x - 3) = -1 - 3 = -4$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $2$
• Grau del denominador: $2$

Empaten en grau, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\frac{2}{1} = 2$

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 2$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 2$:

$8 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 2$:

$2^2 + 5 = 9$

Els igualem i aïllem $k$:

$8 + k = 9 \quad\Longrightarrow\quad k = 9 - 8 = 1$

Comprovació: amb $k = 1$, els dos trossos valen $9$ a $x = 2$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $4 + k$

Per la dreta: $4$

Igualant i aïllant:

$k = 0$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $2$.

Amb arrels i indeterminació $\frac{0}{0}$, el camí és multiplicar pel conjugat.

1 — Multipliquem dalt i baix per $\sqrt{x+7} + \sqrt{7}$. A dalt apareix una diferència de quadrats i les arrels desapareixen:

$(\sqrt{x+7} - \sqrt{7})(\sqrt{x+7} + \sqrt{7}) = (x+7) - 7 = x$

2 — Queda:

$\frac{x}{3 x\left(\sqrt{x+7} + \sqrt{7}\right)}$

3 — Simplifiquem la $x$ (es pot: $x$ tendeix a zero però no hi és) i substituïm:

$\frac{1}{3\left(\sqrt{7} + \sqrt{7}\right)} = \frac{1}{6\sqrt{7}} \approx 0.0630$

També es podria fer amb L'Hôpital, però el conjugat surt més net i no necessita derivar.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = -1$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 4 x - 5 = (x + 1)(x - 5)$

Ha de sortir el factor $(x + 1)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $-1$ però no hi és):

$\frac{(x + 1)(x - 5)}{x + 1} = x - 5$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to -1} (x - 5) = -1 - 5 = -6$

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $2$
• Grau del denominador: $3$

El denominador creix més ràpid, per tant el quocient s'aixafa cap a zero.

Resultat: $0$.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 2$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 2$:

$8 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 2$:

$2^2 - 2 = 2$

Els igualem i aïllem $k$:

$8 + k = 2 \quad\Longrightarrow\quad k = 2 - 8 = -6$

Comprovació: amb $k = -6$, els dos trossos valen $2$ a $x = 2$. Enganxen.

Perquè una funció a trossos sigui contínua en el punt d'empalmament, els dos límits laterals han de valer el mateix i ser finits.

Per l'esquerra: $\lim_{x \to 2^-} (2 x + k) = 4 + k$, que és un número, depengui de $k$ el que depengui.

Per la dreta: $\lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x - 2} = +\infty$, perquè el denominador tendeix a zero.

Un número mai no serà igual a infinit, faci el que faci la $k$. La funció té una asímptota vertical a $x = 2$ i la discontinuïtat no és evitable.

La lliçó: abans de posar-te a resoldre l'equació dels límits, mira si els dos costats donen un número. Si un se'n va a infinit, ja has acabat.