Simulacre d'examen de límits i continuïtat

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 1$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

Ha de sortir el factor $(x - 1)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $1$ però no hi és):

$\frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = x - 2$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 1} (x - 2) = 1 - 2 = -1$

Perquè una funció a trossos sigui contínua en el punt d'empalmament, els dos límits laterals han de valer el mateix i ser finits.

Per l'esquerra: $\lim_{x \to 1^-} (2 x + k) = 2 + k$, que és un número, depengui de $k$ el que depengui.

Per la dreta: $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1} = +\infty$, perquè el denominador tendeix a zero.

Un número mai no serà igual a infinit, faci el que faci la $k$. La funció té una asímptota vertical a $x = 1$ i la discontinuïtat no és evitable.

La lliçó: abans de posar-te a resoldre l'equació dels límits, mira si els dos costats donen un número. Si un se'n va a infinit, ja has acabat.

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = 3$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} - 8 x + 15 = (x - 3)(x - 5)$

Ha de sortir el factor $(x - 3)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $3$ però no hi és):

$\frac{(x - 3)(x - 5)}{x - 3} = x - 5$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to 3} (x - 5) = 3 - 5 = -2$

Pas 1 — provar de substituir. Amb $x = -1$, el numerador dona $0$ i el denominador també. Això és una indeterminació $\frac{0}{0}$: no és cap resultat, vol dir que has de treballar-ho més.

Pas 2 — factoritzar. El numerador es pot escriure com:

$x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1)(x + 3)$

Ha de sortir el factor $(x + 1)$, perquè és el que fa zero el denominador. Si no et surt, has factoritzat malament.

Pas 3 — simplificar el factor comú (es pot fer perquè $x$ s'acosta a $-1$ però no hi és):

$\frac{(x + 1)(x + 3)}{x + 1} = x + 3$

Pas 4 — ara sí, substituir:

$\lim_{x \to -1} (x + 3) = -1 - (-3) = 2$

Una funció a trossos només pot trencar-se al punt on canvia de fórmula, aquí $x = 3$. Perquè sigui contínua, els dos trossos han d'enganxar: han de valer el mateix.

Pel tros de l'esquerra, amb $x = 3$:

$12 + k$

Pel tros de la dreta, amb $x = 3$:

$3^2 + 5 = 14$

Els igualem i aïllem $k$:

$12 + k = 14 \quad\Longrightarrow\quad k = 14 - 12 = 2$

Comprovació: amb $k = 2$, els dos trossos valen $14$ a $x = 3$. Enganxen.

Una funció a trossos només es pot trencar al punt on canvia de fórmula. Perquè no es trenqui, els dos trossos han d'enganxar: els límits laterals han de coincidir.

Per l'esquerra: $-3 + k$

Per la dreta: $-2$

Igualant i aïllant:

$k = 1$

Amb aquest valor, i només amb aquest, la funció és contínua. Qualsevol altre deixa un salt al punt $-1$.

Un polinomi és continu a tot $\mathbb{R}$, així que Bolzano s'hi pot aplicar: si $p(a)$ i $p(b)$ tenen signes contraris, hi ha almenys una arrel a $(a, b)$.

• $[-4, -3]$: $p(-4) = -83$ (-) i $p(-3) = -35$ (-) → mateix signe
• $[-3, -2]$: $p(-3) = -35$ (-) i $p(-2) = -9$ (-) → mateix signe
• $[-2, -1]$: $p(-2) = -9$ (-) i $p(-1) = 1$ (+) → canvi de signe

Només a $[-2, -1]$ hi ha canvi de signe: allà Bolzano assegura una arrel. Als altres, amb el mateix signe als extrems, el teorema no diu res (hi podria haver zero arrels o dues).

Un polinomi és continu a tot $\mathbb{R}$, així que Bolzano s'hi pot aplicar: si $p(a)$ i $p(b)$ tenen signes contraris, hi ha almenys una arrel a $(a, b)$.

• $[-4, -3]$: $p(-4) = -3$ (-) i $p(-3) = 10$ (+) → canvi de signe
• $[-3, -2]$: $p(-3) = 10$ (+) i $p(-2) = 11$ (+) → mateix signe
• $[-2, -1]$: $p(-2) = 11$ (+) i $p(-1) = 6$ (+) → mateix signe

Només a $[-4, -3]$ hi ha canvi de signe: allà Bolzano assegura una arrel. Als altres, amb el mateix signe als extrems, el teorema no diu res (hi podria haver zero arrels o dues).

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $1$
• Grau del denominador: $1$

Empaten en grau, així que el límit és el quocient dels coeficients principals:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $2$
• Grau del denominador: $1$

El numerador creix més ràpid, per tant el quocient se'n va cap a infinit.

Resultat: infinit.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

Amb $x$ tendint a infinit, els termes petits (el $+1$ i el $+2$) deixen de comptar: davant d'un milió, sumar-hi 1 no canvia res. Només miram els graus.

• Grau del numerador: $3$
• Grau del denominador: $1$

El numerador creix més ràpid, per tant el quocient se'n va cap a infinit.

Resultat: infinit.

Regla ràpida: si guanya el de dalt, infinit; si guanya el de baix, zero; si empaten, es divideixen els coeficients de davant.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{2}{1} = 2$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 2$ val pels dos costats.