Troba l'asímptota horitzontal y=k de f(x)=4x2+35x−4. Quant val k?
Pots donar el resultat exacte (3/2, e^3) o amb tres decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Una asímptota horitzontal és el límit de f(x) quan x→±∞.
Pista 2.
Aquí el numerador és de grau 1 i el denominador de grau 2.
Com es fa
L'asímptota horitzontal és y=limx→±∞f(x). Amb x enorme només compten els termes de grau més alt.
El denominador és de grau més alt (2 contra 1): quan x es fa enorme, el quocient s'aixafa cap a zero.
k=0
Com que el límit és el mateix a +∞ i a −∞, l'asímptota y=0 val pels dos costats.
Compte amb això.
Dividir els termes independents en lloc dels coeficients de grau més alt, o donar el quocient dels coeficients quan els graus no són iguals.
Exercici 2
La funció f(x)=x−4x+1 té una asímptota vertical a x=4. Com són els límits laterals en aquest punt?
Pista 1.
Substituint x=4 el numerador val 5 i el denominador 0: és un «k/0», un límit infinit. Només cal decidir-ne el signe a cada costat.
Pista 2.
Mira el signe del denominador una mica a l'esquerra (per exemple x=4−0,1) i una mica a la dreta (x=4+0,1) de 4.
Com es fa
Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb x=4: numerador 1⋅4+1=5, denominador 0. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.
Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de 4, val gairebé 5: és positiu.
Per l'esquerra (x una mica més petit que 4), x−4 és un número petit negatiu.
Per la dreta (x una mica més gran que 4), x−4 és un número petit positiu.
Així, el quocient és positiu entre negatiu per l'esquerra i positiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.
Resultat:limx→4−f(x)=−∞ i limx→4+f(x)=+∞.
Compte amb això.
Posar +∞ als dos costats sense mirar el signe del denominador. Amb (x−a) a la primera potència, els laterals canvien de signe; amb (x−a)2, no.
Exercici 3
La funció f(x)=(x−4)2x+1 té una asímptota vertical a x=4. Com són els límits laterals en aquest punt?
Pista 1.
Substituint x=4 el numerador val 5 i el denominador 0: és un «k/0», un límit infinit. Només cal decidir-ne el signe a cada costat.
Pista 2.
Mira el signe del denominador una mica a l'esquerra (per exemple x=4−0,1) i una mica a la dreta (x=4+0,1) de 4.
Com es fa
Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb x=4: numerador 1⋅4+1=5, denominador 0. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.
Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de 4, val gairebé 5: és positiu.
El denominador és un quadrat, (x−4)2: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.
Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (positiu).
Resultat:limx→4−f(x)=+∞ i limx→4+f(x)=+∞.
Compte amb això.
Posar +∞ als dos costats sense mirar el signe del denominador. Amb (x−a) a la primera potència, els laterals canvien de signe; amb (x−a)2, no.
Exercici 4
La funció f(x)=x−42x−1 té una asímptota vertical a x=4. Com són els límits laterals en aquest punt?
Pista 1.
Substituint x=4 el numerador val 7 i el denominador 0: és un «k/0», un límit infinit. Només cal decidir-ne el signe a cada costat.
Pista 2.
Mira el signe del denominador una mica a l'esquerra (per exemple x=4−0,1) i una mica a la dreta (x=4+0,1) de 4.
Com es fa
Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb x=4: numerador 2⋅4−1=7, denominador 0. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.
Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de 4, val gairebé 7: és positiu.
Per l'esquerra (x una mica més petit que 4), x−4 és un número petit negatiu.
Per la dreta (x una mica més gran que 4), x−4 és un número petit positiu.
Així, el quocient és positiu entre negatiu per l'esquerra i positiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.
Resultat:limx→4−f(x)=−∞ i limx→4+f(x)=+∞.
Compte amb això.
Posar +∞ als dos costats sense mirar el signe del denominador. Amb (x−a) a la primera potència, els laterals canvien de signe; amb (x−a)2, no.
Exercici 5
La funció f(x)=(x−4)22x−1 té una asímptota vertical a x=4. Com són els límits laterals en aquest punt?
Pista 1.
Substituint x=4 el numerador val 7 i el denominador 0: és un «k/0», un límit infinit. Només cal decidir-ne el signe a cada costat.
Pista 2.
Mira el signe del denominador una mica a l'esquerra (per exemple x=4−0,1) i una mica a la dreta (x=4+0,1) de 4.
Com es fa
Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb x=4: numerador 2⋅4−1=7, denominador 0. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.
Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de 4, val gairebé 7: és positiu.
El denominador és un quadrat, (x−4)2: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.
Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (positiu).
Resultat:limx→4−f(x)=+∞ i limx→4+f(x)=+∞.
Compte amb això.
Posar +∞ als dos costats sense mirar el signe del denominador. Amb (x−a) a la primera potència, els laterals canvien de signe; amb (x−a)2, no.
Exercici 6
La funció f(x)=x−4−x+3 té una asímptota vertical a x=4. Com són els límits laterals en aquest punt?
Pista 1.
Substituint x=4 el numerador val −1 i el denominador 0: és un «k/0», un límit infinit. Només cal decidir-ne el signe a cada costat.
Pista 2.
Mira el signe del denominador una mica a l'esquerra (per exemple x=4−0,1) i una mica a la dreta (x=4+0,1) de 4.
Com es fa
Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb x=4: numerador −1⋅4+3=−1, denominador 0. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.
Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de 4, val gairebé −1: és negatiu.
Per l'esquerra (x una mica més petit que 4), x−4 és un número petit negatiu.
Per la dreta (x una mica més gran que 4), x−4 és un número petit positiu.
Així, el quocient és negatiu entre negatiu per l'esquerra i negatiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.
Resultat:limx→4−f(x)=+∞ i limx→4+f(x)=−∞.
Compte amb això.
Posar +∞ als dos costats sense mirar el signe del denominador. Amb (x−a) a la primera potència, els laterals canvien de signe; amb (x−a)2, no.
Exercici 7
La funció f(x)=(x−4)2−x+3 té una asímptota vertical a x=4. Com són els límits laterals en aquest punt?
Pista 1.
Substituint x=4 el numerador val −1 i el denominador 0: és un «k/0», un límit infinit. Només cal decidir-ne el signe a cada costat.
Pista 2.
Mira el signe del denominador una mica a l'esquerra (per exemple x=4−0,1) i una mica a la dreta (x=4+0,1) de 4.
Com es fa
Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb x=4: numerador −1⋅4+3=−1, denominador 0. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.
Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de 4, val gairebé −1: és negatiu.
El denominador és un quadrat, (x−4)2: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.
Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (negatiu).
Resultat:limx→4−f(x)=−∞ i limx→4+f(x)=−∞.
Compte amb això.
Posar +∞ als dos costats sense mirar el signe del denominador. Amb (x−a) a la primera potència, els laterals canvien de signe; amb (x−a)2, no.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.