Exercicis de límits i continuïtat

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = -3$: numerador $-1 \cdot (-3) + 3 = 6$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $-3$, val gairebé $6$: és positiu.

• El denominador és un quadrat, $(x + 3)^{2}$: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.

Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (positiu).

Resultat: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

El denominador és de grau més alt (2 contra 1): quan $x$ es fa enorme, el quocient s'aixafa cap a zero.

$k = 0$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 0$ val pels dos costats.

Pas 1 — el pendent.

$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x^{2} + x - 5}{x(x + 2)} = 2$

(numerador i denominador són de grau $2$: quocient dels coeficients principals).

Pas 2 — l'ordenada.

$f(x) - 2x = \frac{2x^{2} + x - 5 - 2x(x + 2)}{x + 2} = \frac{-3x - 5}{x + 2}$

i el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients de grau $1$: $n = -3$.

Resultat: l'asímptota obliqua és $y = 2x - 3$.

Comprovació ràpida: dividint el polinomi, $2x^{2} + x - 5 = (x + 2)(2x - 3) + 1$, i el quocient de la divisió és justament l'asímptota.

Per la dreta ($x > -2$) mana el segon tros, $x^{2}$:

$\lim_{x \to -2^+} f(x) = (-2)^{2} = 4$

L'altre lateral no compta: un límit lateral només mira un costat.

Per l'esquerra: $\lim_{x\to 1^-} f(x) = 1 + 2 = 3$.

Per la dreta: $\lim_{x\to 1^+} f(x) = 1 - 1 = 0$.

Els dos laterals són finits però diferents: el límit no existeix i la gràfica fa un salt de $3$ unitats. És una discontinuïtat de salt finit.

Un polinomi és continu a tot $\mathbb{R}$, així que Bolzano s'hi pot aplicar: si $p(a)$ i $p(b)$ tenen signes contraris, hi ha almenys una arrel a $(a, b)$.

• $[-4, -3]$: $p(-4) = -94$ (-) i $p(-3) = -42$ (-) → mateix signe
• $[-3, -2]$: $p(-3) = -42$ (-) i $p(-2) = -12$ (-) → mateix signe
• $[-2, -1]$: $p(-2) = -12$ (-) i $p(-1) = 2$ (+) → canvi de signe

Només a $[-2, -1]$ hi ha canvi de signe: allà Bolzano assegura una arrel. Als altres, amb el mateix signe als extrems, el teorema no diu res (hi podria haver zero arrels o dues).

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = -1$: numerador $2 \cdot (-1) - 1 = -3$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $-1$, val gairebé $-3$: és negatiu.

• Per l'esquerra ($x$ una mica més petit que $-1$), $x - (-1)$ és un número petit negatiu.
• Per la dreta ($x$ una mica més gran que $-1$), $x - (-1)$ és un número petit positiu.

Així, el quocient és negatiu entre negatiu per l'esquerra i negatiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.

Resultat: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = \frac{3}{2}$ val pels dos costats.

Pas 1 — el pendent.

$m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x^{2} - 3x - 5}{x(x - 1)} = 2$

(numerador i denominador són de grau $2$: quocient dels coeficients principals).

Pas 2 — l'ordenada.

$f(x) - 2x = \frac{2x^{2} - 3x - 5 - 2x(x - 1)}{x - 1} = \frac{-x - 5}{x - 1}$

i el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients de grau $1$: $n = -1$.

Resultat: l'asímptota obliqua és $y = 2x - 1$.

Comprovació ràpida: dividint el polinomi, $2x^{2} - 3x - 5 = (x - 1)(2x - 1) - 6$, i el quocient de la divisió és justament l'asímptota.

Per l'esquerra ($x < 1$) mana el primer tros, $-x - 4$:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 \cdot 1 - 4 = -5$

L'altre lateral no compta: un límit lateral només mira un costat.