Exercicis de límits i continuïtat

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = \frac{5}{2}$ val pels dos costats.

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 2$: numerador $1 \cdot 2 + 1 = 3$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $2$, val gairebé $3$: és positiu.

• El denominador és un quadrat, $(x - 2)^{2}$: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.

Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (positiu).

Resultat: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

El denominador és de grau més alt (2 contra 1): quan $x$ es fa enorme, el quocient s'aixafa cap a zero.

$k = 0$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 0$ val pels dos costats.

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 2$: numerador $2 \cdot 2 - 1 = 3$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $2$, val gairebé $3$: és positiu.

• Per l'esquerra ($x$ una mica més petit que $2$), $x - 2$ és un número petit negatiu.
• Per la dreta ($x$ una mica més gran que $2$), $x - 2$ és un número petit positiu.

Així, el quocient és positiu entre negatiu per l'esquerra i positiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.

Resultat: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = \frac{5}{2}$ val pels dos costats.

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 2$: numerador $2 \cdot 2 - 1 = 3$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $2$, val gairebé $3$: és positiu.

• El denominador és un quadrat, $(x - 2)^{2}$: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.

Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (positiu).

Resultat: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

El denominador és de grau més alt (2 contra 1): quan $x$ es fa enorme, el quocient s'aixafa cap a zero.

$k = 0$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = 0$ val pels dos costats.

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 2$: numerador $-1 \cdot 2 + 3 = 1$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $2$, val gairebé $1$: és positiu.

• Per l'esquerra ($x$ una mica més petit que $2$), $x - 2$ és un número petit negatiu.
• Per la dreta ($x$ una mica més gran que $2$), $x - 2$ és un número petit positiu.

Així, el quocient és positiu entre negatiu per l'esquerra i positiu entre positiu per la dreta: els dos laterals tenen signes contraris.

Resultat: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.

L'asímptota horitzontal és $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$. Amb $x$ enorme només compten els termes de grau més alt.

Empaten en grau (els dos són de grau $2$), així que l'asímptota és el quocient dels coeficients principals:

$k = \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$

Com que el límit és el mateix a $+\infty$ i a $-\infty$, l'asímptota $y = \frac{5}{4}$ val pels dos costats.

Pas 1 — és una asímptota vertical. Amb $x = 2$: numerador $-1 \cdot 2 + 3 = 1$, denominador $0$. Un número diferent de zero entre zero dona infinit.

Pas 2 — el signe a cada costat. El numerador, a prop de $2$, val gairebé $1$: és positiu.

• El denominador és un quadrat, $(x - 2)^{2}$: és positiu tant per l'esquerra com per la dreta.

Per tant, els dos laterals tenen el mateix signe, el del numerador (positiu).

Resultat: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.