Dispersió: rang, recorregut interquartílic i desviació típica

Dues distribucions poden tenir exactament la mateixa mitjana i no assemblar-se gens. El centre no diu res sobre si les dades estan concentrades o escampades, i per això cal una segona família de mesures.

El que has de dominar abans: mitjana, mediana i quartils.

Mesures basades en posicions

El rang és la diferència entre el màxim i el mínim. És la mesura més simple i la més fràgil: depèn només de dues dades, i un sol valor atípic la pot multiplicar.

El recorregut interquartílic és

$$\text{RI} = Q_3 - Q_1,$$

i mesura l'amplada de la part central de les dades, la que conté el $50\,\%$ del mig. És molt més resistent als valors extrems que el rang.

El diagrama de caixa

Situa visualment $Q_1$, la mediana i $Q_3$ (la caixa) i els extrems (els bigotis).

Els bigotis no tenen una definició única: poden arribar al mínim i al màxim, o seguir una regla per marcar els valors atípics a part. Com que hi ha convencions diferents, cal dir sempre quina s'ha fet servir.

La variància i la desviació típica

Per a un conjunt complet de $N$ dades:

$$\sigma^{2} = \frac{\sum n_i\,(x_i-\bar x)^{2}}{N}, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^{2}}.$$

Per què els quadrats. Si sumessis les desviacions tal qual, les positives i les negatives es cancel·larien i la suma sempre seria zero. Els quadrats eliminen els signes i, a més, donen més pes a les desviacions grans.

Per què després es treu l'arrel. Perquè la variància té les unitats al quadrat (si les dades són en centímetres, la variància és en centímetres quadrats), i això no es pot interpretar. La desviació típica té les mateixes unitats que la variable, i per això és la que es reporta.

Una nota sobre el divisor. Aquí fem servir $N$ perquè volem descriure les dades observades. En estadística inferencial, per estimar la variància d'una població a partir d'una mostra, s'acostuma a dividir per $N-1$. Són finalitats diferents, i cadascuna té el seu divisor.

Una desviació típica zero vol dir que totes les dades són iguals: no hi ha cap variabilitat.

Exercici resolt: dades sense cap variabilitat

Calcula el rang i la desviació típica de $5, 5, 5, 5$.

Mitjana.

$$\bar x = \frac{20}{4} = 5.$$

Rang.

$$5 - 5 = 0.$$

Desviacions. Totes quatre valen $5-5 = 0$.

Variància i desviació típica.

$$\sigma^{2} = \frac{0+0+0+0}{4} = 0, \qquad \sigma = 0.$$

Què vol dir una desviació típica zero. Que totes les dades són iguals: no hi ha cap variabilitat. És l'únic cas en què la desviació típica pot valer zero, i es pot afirmar a l'inrevés: si $\sigma = 0$, totes les dades coincideixen amb la mitjana.

La desviació típica no pot ser negativa. És una arrel quadrada d'una suma de quadrats dividida per un número positiu: el mínim possible és zero. Si en un exercici et surt negativa, hi ha un error de signe segur.

Un comentari sobre la pregunta estadística. Un conjunt com aquest no té variabilitat, de manera que no respon a cap pregunta estadística: tal com dèiem al tema E01, una pregunta és estadística si preveu que les respostes puguin ser diferents.

Exercici resolt: quartils i recorregut interquartílic

Per a les dades $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$, calcula la mediana, $Q_1$, $Q_3$ i el recorregut interquartílic, amb la convenció del tema anterior.

Comprova que estan ordenades. Sí, i $N = 7$ és senar.

Mediana. El valor central és el quart: $Q_2 = 4$.

$Q_1$. La primera meitat, excloent la mediana global, és $1, 2, 3$. La seva mediana és el valor central:

$$Q_1 = 2.$$

$Q_3$. La segona meitat és $5, 6, 7$, i la seva mediana és

$$Q_3 = 6.$$

Recorregut interquartílic.

$$\text{RI} = 6 - 2 = 4.$$

Interpretació. El $50\,\%$ central de les dades està entre $2$ i $6$, un interval de $4$ unitats d'amplada.

Comparació amb el rang. El rang és $7-1 = 6$, més gran que el RI, com ha de ser sempre: el recorregut interquartílic només cobreix la meitat central.

Per què el RI és més robust. Si la dada $7$ es canviés per $70$, el rang passaria de $6$ a $69$, mentre que el RI no canviaria gens: continuaria sent $4$, perquè $Q_1$ i $Q_3$ depenen de posicions i no de la magnitud dels extrems. És el mateix avantatge que té la mediana sobre la mitjana.

I l'advertència de sempre sobre les convencions. Amb una altra convenció (per exemple la que inclou la mediana en les dues meitats, o la interpolació que fan alguns programes), $Q_1$ i $Q_3$ poden sortir $2{,}5$ i $5{,}5$. Cap de les dues no és incorrecta: el que seria incorrecte és no dir quina s'ha fet servir.

On ho faràs servir

La dispersió és el que permet comparar grups amb criteri: dues classes, dos processos de producció, dos tractaments. En qualsevol control de qualitat, la variabilitat és sovint més important que la mitjana.

La desviació típica és la mesura de dispersió que s'utilitza a tot arreu, i a batxillerat reapareix com a paràmetre de la distribució normal, on determina l'amplada de la campana i permet dir quin percentatge de les dades està dins de cada interval.

I el recorregut interquartílic i el diagrama de caixa són les eines estàndard per detectar valors atípics, una tasca que es fa sistemàticament abans de qualsevol anàlisi de dades real.