Grups, homomorfismes i accions: Lagrange, quocients i lema de Burnside

Un grup és l'estructura mínima que captura la idea de simetria. La definició sembla pobra (una operació, un neutre, inversos) i tanmateix genera una teoria enorme, perquè aquestes tres condicions ja imposen moltíssima rigidesa. Aquesta pàgina va del que es pot deduir en dues línies dels axiomes fins a una eina de recompte que resol problemes concrets.

Axiomes i primeres conseqüències

Un grup és un conjunt amb una operació associativa, un element neutre i un invers per a cada element. Si a més l'operació commuta, és abelià.

Tres coses es dedueixen immediatament i val la pena veure-les perquè són el model de com es raona aquí:

• El neutre és únic. Si $e$ i $e'$ ho fossin tots dos, aleshores $e = ee' = e'$, on la primera igualtat fa servir que $e'$ és neutre i la segona que ho és $e$.
• L'invers és únic, amb un argument anàleg multiplicant per l'altre invers.
• Es pot cancel·lar: de $ab = ac$ se'n dedueix $b = c$ multiplicant per l'invers d'$a$. Aquesta propietat no és gratuïta en estructures més febles, i no s'ha de pressuposar.

Exemples que convé tenir al cap: els enters amb la suma (abelià), els reals no nuls amb el producte (abelià), les matrius invertibles amb el producte (no abelià a partir de dimensió dos), i el grup simètric de les bijeccions d'un conjunt de $n$ elements, que té $n!$ elements.

Subgrups, classes i Lagrange

Un subconjunt no buit és subgrup si per a qualsevol parella d'elements seus, el producte del primer per l'invers del segon hi pertany. Aquesta condició compacta engloba les tres que caldria comprovar per separat.

El subgrup cíclic generat per un element és el conjunt de totes les seves potències, i l'ordre de l'element és la mida d'aquest subgrup.

Dues conseqüències immediates. Primera: tot grup d'ordre primer és cíclic, perquè qualsevol element diferent del neutre ha de generar un subgrup d'ordre que divideix el primer i no és $1$, o sigui tot el grup. Segona, i és un avís: el recíproc de Lagrange és fals. Que un número divideixi l'ordre del grup no garanteix que hi hagi un subgrup d'aquell ordre; el grup alternat de quatre elements té ordre $12$ i no té cap subgrup d'ordre $6$.

Homomorfismes, nuclis i quocients

Un homomorfisme preserva l'operació. El seu nucli és el conjunt d'elements que van al neutre, i la seva imatge és un subgrup del grup d'arribada.

El nucli té una propietat especial: és normal, és a dir que conjugar-lo per qualsevol element del grup el deixa igual. I aquesta condició és exactament la que fa que el producte de classes estigui ben definit:

$$(gN)(hN) = ghN.$$

Aquest teorema és l'eina de treball del tema: sempre que vulguis identificar un quocient, busca un homomorfisme amb aquell nucli.

Accions, òrbites i Burnside

Una acció d'un grup sobre un conjunt és una manera de fer que cada element del grup permuti el conjunt, de manera compatible amb l'operació. L'òrbita d'un punt és el conjunt d'on el pots portar, i l'estabilitzador és el subgrup dels elements que el deixen quiet.

La relació fonamental és que la mida de l'òrbita és l'índex de l'estabilitzador:

$$|Gx| = \frac{|G|}{|G_x|},$$

que és Lagrange un altre cop, aplicat a l'estabilitzador.

El lema de Burnside diu que el nombre d'òrbites és la mitjana del nombre de punts fixos:

$$\#\text{òrbites} = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|.$$

Es demostra comptant de dues maneres les parelles formades per un element del grup i un punt que aquell element fixa. És l'eina estàndard per comptar configuracions identificant-ne les simètriques.

Exercici resolt: nucli d'una reducció modular

Quin és el nucli de l'aplicació que envia cada enter a la seva classe mòdul $5$?

El nucli són els enters que van a la classe zero, és a dir els múltiples de $5$.

La imatge és tot el grup de classes, perquè cada classe té representant enter.

Pel primer teorema d'isomorfisme, el quocient dels enters pels múltiples de $5$ és isomorf al grup de les cinc classes. Això no és una curiositat: és la definició del grup de classes, i el teorema diu que les dues construccions (quocient abstracte i aritmètica de residus) donen el mateix.

Comprovació de Lagrange: el grup té ordre $5$, que és primer, de manera que ha de ser cíclic. I efectivament la classe d'$1$ el genera sencer.

Exercici resolt: ordres possibles en un grup

En un grup d'ordre $12$, quins ordres poden tenir els seus elements?

Per Lagrange, l'ordre de cada element divideix $12$, de manera que només pot ser $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ o $12$.

Quins es realitzen depèn del grup. El grup cíclic d'ordre $12$ té elements de tots aquests ordres. En canvi, el grup alternat de quatre elements, que també té ordre $12$, no té cap element d'ordre $6$ ni d'ordre $12$: els seus elements tenen ordre $1$, $2$ o $3$.

La lliçó. Lagrange dona una restricció necessària, no una construcció. Diu quins ordres són impossibles, no quins existeixen. És un patró que es repeteix molt en àlgebra: els teoremes de divisibilitat retallen les possibilitats i després cal mirar cada cas.