Coordenades i vectors: desplaçaments, distàncies i punt mitjà

Amb coordenades, la geometria es converteix en càlcul: una distància és una fórmula, una recta és una equació, i un desplaçament és una resta. Aquest tema és el pont entre el bloc de funcions i la geometria.

El que has de dominar abans: coordenades, rectes i Pitàgores.

El vector entre dos punts

Si $A = (x_1, y_1)$ i $B = (x_2, y_2)$, el vector desplaçament de $A$ a $B$ és

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1).$$

Sempre destí menys origen. El vector $\overrightarrow{BA}$ és el contrari: $A - B$, amb les dues components de signe oposat.

Un vector no és un punt. Un punt indica una posició; un vector indica direcció, sentit i longitud, i es pot col·locar a qualsevol lloc del pla. Les seves components poden ser negatives.

La distància

És la longitud del vector, i surt de Pitàgores aplicat al triangle que formen les dues components:

$$d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^{2} + (y_2-y_1)^{2}}.$$

Una distància mai no és negativa, i els quadrats ja s'encarreguen que no ho sigui: l'ordre en què restis no afecta el resultat.

El punt mitjà

$$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

És la mitjana de les coordenades, component per component. Convé no confondre'l amb el vector: el punt mitjà és un punt, i es calcula sumant i dividint, no restant.

Les maneres d'escriure una recta

Paramètrica. Amb un punt $A$ i un vector director no nul $(u, v)$:

$$x = x_1 + t\,u, \qquad y = y_1 + t\,v, \qquad t \in \mathbb{R}.$$

Cada valor del paràmetre $t$ dona un punt de la recta.

El pendent. Si $u \neq 0$:

$$m = \frac{v}{u}.$$

Explícita. $y = mx + b$, la del bloc de funcions. No serveix per a rectes verticals.

General. $ax + by + c = 0$, amb $(a,b)$ diferent de $(0,0)$. Aquesta sí que serveix per a totes les rectes, incloses les verticals (amb $b = 0$).

Una recta vertical $x = k$ no es pot escriure com $y = mx+b$, perquè el seu pendent no és un número: la $x$ no canvia mai, de manera que el denominador de la fórmula del pendent seria zero.

Exercici resolt: vector i distància

Per a $A = (-1, 2)$ i $B = (2, 6)$, calcula $\overrightarrow{AB}$ i la distància.

El vector, destí menys origen.

$$\overrightarrow{AB} = (2-(-1),\ 6-2) = (3, 4).$$

Comprovació amb el dibuix. Per anar d'$A$ a $B$ cal anar cap a la dreta i cap amunt, de manera que les dues components han de ser positives ✓

La distància.

$$d = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$

Comprovació de l'ordre invers. Si calculem $\overrightarrow{BA} = (-3,-4)$, la distància surt $\sqrt{9+16} = 5$ igualment ✓ El vector canvia de signe, la distància no.

El detall que més s'equivoca. El $2-(-1)$: restar un negatiu suma, i dona $3$ i no $1$. Amb coordenades negatives, convé escriure sempre el parèntesi.

Exercici resolt: el punt mitjà

Troba el punt mitjà de $A = (-2, 3)$ i $B = (4, -1)$.

Mitjana de cada coordenada.

$$M = \left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2},\ \frac{2}{2}\right) = (1, 1).$$

Comprovació per distàncies. $M$ ha d'equidistar dels dos extrems:

$$d(A,M) = \sqrt{3^{2}+2^{2}} = \sqrt{13}, \qquad d(B,M) = \sqrt{3^{2}+2^{2}} = \sqrt{13} \quad\checkmark$$

Comprovació per situació. La primera coordenada de $M$ ($1$) està entre $-2$ i $4$ ✓ I la segona ($1$) està entre $-1$ i $3$ ✓ El punt mitjà sempre ha de quedar dins de les dues forquilles.

L'error que convé evitar. Restar en comptes de sumar, com si es calculés un vector. El punt mitjà es calcula sumant i dividint per dos; el vector es calcula restant. Són dues operacions diferents sobre les mateixes dades, i donen objectes de naturalesa diferent: un punt i un vector.

Una comprovació alternativa amb vectors. El punt mitjà també es pot obtenir sumant a $A$ la meitat del vector $\overrightarrow{AB} = (6,-4)$:

$$(-2, 3) + (3, -2) = (1, 1) \quad\checkmark$$

Aquest segon camí deixa veure la relació entre les dues idees del tema: els vectors serveixen per moure's pel pla, i el punt mitjà és el resultat de moure's mig camí.

On ho faràs servir

Les coordenades i els vectors són el llenguatge de tota la geometria analítica de batxillerat, on es generalitzen a l'espai amb tres components i s'hi afegeixen el producte escalar, els angles entre rectes i les distàncies a plans.

A física, els vectors són la forma de representar forces, velocitats i acceleracions, i les operacions que has vist aquí (sumar, restar, calcular el mòdul) són exactament les que s'hi fan servir.

I en informàtica i disseny gràfic, qualsevol posició a la pantalla és un parell de coordenades, i qualsevol moviment és un vector. Les transformacions del tema següent són, literalment, el que fa un programa de dibuix quan mous o escales una figura.