Correlació i predicció: per què correlació no és causalitat

⏱ 8 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 102 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Amb dues variables es pot mesurar si tendeixen a moure's juntes, i fins a quin punt. El que no es pot fer és concloure que una causa l'altra, i aquesta distinció és el contingut més important del tema.

El que has de dominar abans: coordenades, funcions afins i estadística descriptiva.

Dades aparellades

Cada individu aporta un parell $(x, y)$ : per exemple, hores de pràctica i temps per completar una tasca. Les dues mesures han de venir del mateix individu, i aquest aparellament és el que fa possible estudiar la relació.

El diagrama de dispersió

És el primer que s'ha de mirar, abans de calcular res. Deixa veure si les variables:

tendeixen a créixer juntes (núvol ascendent);
varien en sentit contrari (núvol descendent);
no segueixen cap tendència clara;
segueixen una tendència corba, que cap mesura lineal no captarà.

El coeficient de correlació lineal

Quan les dues variables tenen variació:

r = \frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^{2}\,\sum(y_i-\bar y)^{2}}}.

Està sempre entre $-1$ i $1$ . El signe diu el sentit de la relació i el valor absolut com de forta és:

a prop de $1$ : relació lineal creixent molt marcada;
a prop de $-1$ : relació lineal decreixent molt marcada;
a prop de $0$ : poca relació lineal.

Compte amb l'últim punt. Un $r$ proper a zero no vol dir que no hi hagi cap relació: pot haver-hi una relació corba que el coeficient lineal no detecta. Per això el gràfic és imprescindible.

La recta de regressió

Resumeix la tendència amb una recta $\hat y = mx + b$ . Pel mètode dels mínims quadrats, i si $x$ no és constant:

m = \frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^{2}}, \qquad b = \bar y - m\,\bar x.

Les prediccions que en surten són estimacions, no resultats garantits. El pendent s'interpreta com el canvi mitjà esperat en $y$ per cada unitat de $x$ .

Interpolar i extrapolar

Interpolar és predir dins de l'interval de dades observades: raonablement segur.

Extrapolar és predir fora: molt més arriscat, perquè res no garanteix que la tendència continuï on no tens dades.

Correlació no és causalitat

Una associació entre dues variables pot venir de tres coses diferents:

que una causi l'altra;
que una tercera variable les causi totes dues;
que sigui una coincidència de la mostra.

El coeficient de correlació no distingeix entre aquests casos. Per afirmar causalitat calen altres arguments: un mecanisme plausible, un experiment controlat o un disseny que descarti les alternatives.

I l'avís complementari: un $r = 0$ tampoc no descarta qualsevol relació. Només diu que no hi ha relació lineal.

En tots dos sentits, la conclusió és la mateixa: mira el gràfic, els valors atípics i com s'ha fet l'estudi abans d'afirmar res.

Núvol de catorze punts amb tendència creixent i la recta de regressió ajustada dibuixada a sobre, amb la seva equació escrita al costat — La recta resumeix la tendència, però no demostra que $x$ causi $y$ : això exigeix un disseny experimental.

Tres punts exactament alineats

Els punts $(1,3)$ , $(2,5)$ i $(3,7)$ estan sobre una recta. Troba-la, digues quina correlació tenen i discuteix dues prediccions.

Troba la recta. El pendent entre els dos primers punts:

m = \frac{5-3}{2-1} = 2.

I entre el segon i el tercer: $\frac{7-5}{3-2} = 2$ ✓ El mateix, de manera que els tres punts estan alineats.

Amb $(1,3)$ : $3 = 2\cdot 1 + b$ , de manera que $b = 1$ .

y = 2x+1.

Comprovació dels tres punts. $2\cdot 1+1 = 3$ ✓, $2\cdot 2+1 = 5$ ✓, $2\cdot 3+1 = 7$ ✓

La correlació. Com que els punts estan exactament sobre una recta creixent, $r = 1$ : el valor màxim possible.

Primera predicció: $x = 2{,}5$ .

\hat y = 2\cdot 2{,}5 + 1 = 6.

Això és interpolar: el $2{,}5$ està entre els valors observats ( $1$ i $3$ ). És una predicció raonablement defensable.

Segona predicció: $x = 100$ .

\hat y = 201.

Això és extrapolar molt lluny, i aquí convé ser explícit: tenir tres punts exactament alineats no garanteix que el fenomen real mantingui la mateixa llei a $x=100$ . Potser hi ha un límit físic, una saturació o un canvi de règim.

El que mostra aquest exemple. Una correlació perfecta en les dades observades diu molt sobre l'interval observat i res sobre el que passa fora. Els tres punts podrien venir perfectament d'una corba que coincideix amb la recta en aquest tram i se'n separa després.

Com es redacta una predicció honesta. «El model prediu $201$ per a $x=100$ , però és una extrapolació molt allunyada de les dades disponibles ( $x$ entre $1$ i $3$ ) i no es pot considerar fiable.» Afegir aquesta frase és el que distingeix una resposta completa.

Gelats i banys al mar

A l'estiu augmenten tant les vendes de gelats com els banys al mar. Prova això que comprar gelats causa anar a banyar-se?

No, no ho prova. I el raonament és el que es demana.

Què hi ha de cert. Hi ha una correlació positiva real: als mesos amb més vendes de gelats hi ha més banys. Les dades poden ser perfectament correctes.

Per què no és causalitat. Hi ha una tercera variable que explica les dues: la temperatura (o, més en general, l'estació de l'any). Quan fa calor, la gent compra més gelats i es banya més. Les dues variables pugen alhora perquè totes dues depenen d'una causa comuna, no perquè l'una provoqui l'altra.

El nom d'aquest fenomen. Es diu variable de confusió: una variable que influeix en les dues que estudies i genera una associació que no és causal.

La comprovació mental que ho detecta. Pregunta't si la relació funcionaria mantenint fixa la tercera variable. Si agafes només els dies de $30$ graus, hi haurà relació entre gelats venuts i banys? Probablement molt poca. Aquesta pregunta és la versió intuïtiva del que a estadística es fa «controlant» per una variable.

Què caldria per afirmar causalitat. Un experiment: repartir gelats aleatòriament a un grup i no a un altre, en les mateixes condicions, i veure si els primers es banyen més. És el disseny que permet atribuir causes, i és el motiu pel qual els assaigs clínics es fan amb assignació aleatòria.

I una última precaució. Hi ha correlacions altes que són pura coincidència, sobretot si es busquen entre moltes variables alhora. Amb prou variables, sempre es troba alguna parella que correlaciona sense cap relació real.

Mira el gràfic abans de calcular el coeficient

Dibuixa el núvol de punts sempre, abans de calcular cap $r$ .

Serveix per detectar relacions corbes (que el coeficient lineal no veu), valors atípics (que el poden alterar molt) i agrupacions de punts que indiquen que hi ha subgrups diferents barrejats.

Un coeficient sense gràfic és un número que es pot interpretar malament de moltes maneres.

Exercici resolt: el signe de la correlació

Una variable augmenta mentre l'altra tendeix a disminuir. Quin signe esperaries en la correlació lineal?

Signe negatiu. La correlació seria entre $-1$ i $0$ .

Per què. Mira el numerador de la fórmula: és una suma de productes $(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$ . Quan una variable està per damunt de la seva mitjana i l'altra per sota, un factor és positiu i l'altre negatiu, de manera que el producte és negatiu. Si això passa en la majoria de les dades, la suma surt negativa i el coeficient també.

Com es veuria el gràfic. Un núvol de punts descendent: a mesura que avances cap a la dreta, els punts baixen.

Què no es pot dir amb això. No es pot dir com de forta és la relació. Saber que és negativa diu el sentit, però no si $r$ val $-0{,}3$ (relació feble) o $-0{,}95$ (relació molt marcada). Per a això cal calcular-lo o, com a mínim, mirar com de prim és el núvol.

Un exemple típic amb aquest signe. Hores de pràctica i temps per completar una tasca: com més pràctica, menys temps. La relació és negativa i, en aquest cas, té un mecanisme causal plausible, cosa que no sempre passa.

Exercici resolt: fer servir una recta ajustada

Una recta ajustada és $\hat y = 4 + 1{,}5x$ . Què prediu per a $x = 8$ ? Interpreta el pendent.

La predicció.

\hat y = 4 + 1{,}5\cdot 8 = 4 + 12 = 16.

Interpretació del pendent. Per cada unitat que augmenta $x$ , s'espera que $y$ augmenti $1{,}5$ unitats en mitjana.

Les tres paraules que importen d'aquesta frase són «s'espera», «en mitjana» i, implícitament, que no diu res de causalitat. El pendent descriu la tendència observada, no una llei que es compleixi exactament per a cada individu.

Interpretació de l'ordenada. El $4$ és el valor predit quan $x = 0$ . Però només té sentit si el zero és a prop de les dades observades: si totes les $x$ observades estaven entre $5$ i $15$ , el valor a $x=0$ és una extrapolació i pot no tenir cap significat real.

La pregunta que falta per respondre bé l'exercici. És $x=8$ dins de l'interval de les dades? L'enunciat no ho diu, i per tant la resposta honesta és condicional: «si $x=8$ està dins de l'interval observat, la predicció és $16$ ; si queda fora, es tracta d'una extrapolació i la fiabilitat és menor».

I una precisió sobre el que és una predicció. El $16$ és el valor mitjà esperat, no el valor que necessàriament s'observarà. Els punts reals estan dispersos al voltant de la recta, i aquesta dispersió (la que a batxillerat es mesura amb els residus) és el que determina com de precisa és la predicció.

On ho faràs servir

L'anàlisi de dues variables és el que hi ha darrere de gairebé tota afirmació quantitativa que llegiràs: relacions entre hàbits i salut, entre inversió i resultats, entre variables econòmiques.

La distinció entre correlació i causalitat és probablement el contingut més útil de tot el bloc fora de l'aula, perquè és el pas on es produeixen la major part de les conclusions equivocades, de vegades de bona fe i de vegades no.

I a batxillerat i a la universitat, la recta de regressió es formalitza amb el mètode dels mínims quadrats i s'estén a models amb moltes variables, que són la base de tota l'anàlisi de dades i de l'aprenentatge automàtic.

Ara prova-ho tu. 102 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen