Fraccions: què volen dir, equivalència i com comparar-les

Una fracció no vol dir una sola cosa: en vol dir tres, i segons el problema et convindrà pensar en una o en una altra. Tenir-les clares des del principi fa que la resta del bloc de fraccions vagi sol.

El que has de dominar abans: divisibilitat i la idea de repartir en parts iguals.

Els tres significats

A la fracció $a/b$, el denominador $b$ (que mai no pot ser zero) diu en quantes parts iguals parteixes la unitat, i el numerador $a$ diu quantes en prens.

1. Com a quantitat. $3/4$ és «tres de les quatre parts en què he partit una cosa». És la imatge de la pizza.

2. Com a divisió. $3/4$ és també el resultat de $3:4$, que val $0{,}75$. Si reparteixes 3 pizzes entre 4 persones, a cadascú li toca $3/4$ de pizza.

3. Com a operador. «$3/4$ de 20» vol dir: parteix 20 en quatre parts iguals i pren-ne tres.

$$20 : 4 = 5,\qquad 5\cdot 3 = 15.$$

O, més directament, $20\cdot\dfrac{3}{4} = 15$. Aquest tercer significat és el que apareix a la majoria de problemes amb text.

Fraccions equivalents

Multiplicar o dividir numerador i denominador pel mateix nombre (no zero) no canvia el valor de la fracció.

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100}.$$

Té sentit: si parteixes la pizza en el doble de trossos però en prens el doble, has menjat el mateix.

Simplificar és anar dividint fins que ja no es pugui més. Quan numerador i denominador ja no tenen cap divisor comú més gran que $1$, la fracció és irreductible. El camí més ràpid és dividir directament pel MCD dels dos.

Quatre maneres de comparar

Totes valen; tria la que vagi millor a cada cas.

1. Denominador comú. Converteix-les totes a un denominador comú (el mcm va bé) i compara els numeradors. És la més fiable.

2. Passar a decimal. Divideix i compara els decimals. Ràpid amb calculadora.

3. Comparar amb referents. $0$, $1/2$ i $1$. Si una fracció és més petita que $1/2$ i l'altra és més gran, ja has acabat sense calcular res.

4. Productes creuats. Si els denominadors són positius, $\dfrac{a}{b}$ i $\dfrac{c}{d}$ es comparen comparant $a\cdot d$ amb $c\cdot b$.

Exercici resolt: simplificar fins a la irreductible

Simplifica $42/56$.

Camí ràpid: el MCD. $42 = 2\cdot 3\cdot 7$ i $56 = 2^{3}\cdot 7$. Els factors comuns són $2$ i $7$, o sigui MCD $= 14$.

$$\frac{42}{56} = \frac{42:14}{56:14} = \frac{3}{4}.$$

Camí lent, si no veus el MCD. Ves dividint pel que vagis veient: els dos són parells, $\frac{42}{56} = \frac{21}{28}$; els dos són múltiples de $7$, $\frac{21}{28} = \frac{3}{4}$. S'arriba al mateix lloc, només amb més passos.

Comprovació: $3$ i $4$ no tenen cap divisor comú més gran que $1$, o sigui que ja és irreductible. I en decimal, $42:56 = 0{,}75 = 3:4$ ✓.

Exercici resolt: ordenar tres fraccions

Ordena $2/3$, $3/5$ i $7/10$.

Denominador comú. El mcm de $3$, $5$ i $10$ és $30$.

$$\frac23 = \frac{20}{30},\qquad \frac35 = \frac{18}{30},\qquad \frac{7}{10} = \frac{21}{30}.$$

Ara només cal ordenar els numeradors: $18 < 20 < 21$, de manera que

$$\frac35 < \frac23 < \frac{7}{10}.$$

Comprovació amb decimals: $0{,}6 < 0{,}6\overline{6} < 0{,}7$ ✓.

Nota sobre el mètode. Amb tres o més fraccions, els productes creuats es compliquen (hauries de comparar-les de dues en dues). El denominador comú les posa totes a la mateixa escala d'una sola vegada, i per això és el que convé aquí.

Fraccions pròpies, impròpies i nombres mixtos

Una fracció és pròpia quan el numerador és més petit que el denominador: val menys que $1$. És impròpia quan el numerador és més gran: val més que $1$.

Una fracció impròpia es pot escriure com un enter més una fracció pròpia. Per exemple, $\frac{7}{3}$: com que $7:3$ dona $2$ de quocient i $1$ de residu, són $2$ unitats senceres i un terç més.

$$\frac73 = 2 + \frac13.$$

Això és el que s'anomena nombre mixt, i serveix sobretot per fer-te una idea de la mida: $\frac{7}{3}$ no diu gran cosa, però «dos i un terç» sí.

Per al càlcul, en canvi, convé sempre la forma impròpia. Si has de multiplicar o dividir, un nombre mixt t'obliga a convertir-lo abans, i si te l'oblides acabes sumant quan havies de multiplicar. La recomanació pràctica és treballar amb fraccions impròpies i convertir a mixt només si la resposta final ho demana.

El denominador no pot ser zero

Val la pena aturar-se un moment en això, perquè no és una norma arbitrària.

Una fracció és una divisió, i $\frac{a}{0}$ demanaria un nombre que multiplicat per $0$ donés $a$. Com que qualsevol cosa multiplicada per zero dona zero, no hi ha cap resposta possible quan $a$ no és zero. I quan $a$ també és zero, qualsevol nombre serviria, de manera que tampoc no hi ha una resposta única.

En els dos casos, l'expressió no defineix cap nombre. No és «infinit» ni «molt gran»: simplement no existeix. Més endavant, quan treballis amb lletres, aquesta serà la primera cosa que hauràs de comprovar en qualsevol fracció: quins valors fan zero el denominador i, per tant, queden exclosos.

On ho faràs servir

Tot el bloc de proporcionalitat i percentatges és aquest tema aplicat. Un percentatge és una fracció de denominador $100$, i «el $15\,\%$ de $240$» és la fracció actuant com a operador. Les escales dels mapes, les probabilitats i les raons de semblança són exactament el mateix.

I la comparació de fraccions és el que necessitaràs per ordenar probabilitats, per decidir quina oferta surt més barata o per comparar resultats expressats en proporcions diferents. En tots aquests casos, el mètode fiable és el mateix: posa-ho tot a la mateixa escala i després compara.