Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $2$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $2$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $2$ és $2$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{2}{2} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $2$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $2$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

La definició. Un anell és noetherià si tots els seus ideals són finitament generats, o equivalentment si tota cadena creixent d'ideals s'acaba estabilitzant.

Aquest cas: Els enters és noetherià, perquè tot ideal està generat per un sol element.

L'eina que ho decideix gairebé sempre és el teorema de la base de Hilbert: si un anell és noetherià, també ho és l'anell de polinomis sobre ell. Aplicat repetidament, dona que els polinomis en qualsevol nombre finit de variables sobre un cos o sobre els enters són noetherians.

La finitud és essencial. Amb infinites variables la propietat es perd, i amb ella la garantia que tot sistema d'equacions polinòmiques equival a un sistema finit.

Què no garanteix. Que els generadors siguin pocs ni que sigui fàcil trobar-los. «Existeix un nombre finit» i «es pot calcular còmodament» són coses diferents.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $3$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $3$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $3$ és $3$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{3}{3} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $3$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $3$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

La definició. Un anell és noetherià si tots els seus ideals són finitament generats, o equivalentment si tota cadena creixent d'ideals s'acaba estabilitzant.

Aquest cas: Un cos qualsevol és noetherià, perquè només té dos ideals, el nul i el total.

L'eina que ho decideix gairebé sempre és el teorema de la base de Hilbert: si un anell és noetherià, també ho és l'anell de polinomis sobre ell. Aplicat repetidament, dona que els polinomis en qualsevol nombre finit de variables sobre un cos o sobre els enters són noetherians.

La finitud és essencial. Amb infinites variables la propietat es perd, i amb ella la garantia que tot sistema d'equacions polinòmiques equival a un sistema finit.

Què no garanteix. Que els generadors siguin pocs ni que sigui fàcil trobar-los. «Existeix un nombre finit» i «es pot calcular còmodament» són coses diferents.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $4$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $4$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $4$ és $2$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{4}{2} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $4$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $4$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

La definició. Un anell és noetherià si tots els seus ideals són finitament generats, o equivalentment si tota cadena creixent d'ideals s'acaba estabilitzant.

Aquest cas: Els polinomis en una variable sobre un cos és noetherià, perquè pel teorema de la base de Hilbert.

L'eina que ho decideix gairebé sempre és el teorema de la base de Hilbert: si un anell és noetherià, també ho és l'anell de polinomis sobre ell. Aplicat repetidament, dona que els polinomis en qualsevol nombre finit de variables sobre un cos o sobre els enters són noetherians.

La finitud és essencial. Amb infinites variables la propietat es perd, i amb ella la garantia que tot sistema d'equacions polinòmiques equival a un sistema finit.

Què no garanteix. Que els generadors siguin pocs ni que sigui fàcil trobar-los. «Existeix un nombre finit» i «es pot calcular còmodament» són coses diferents.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $5$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $5$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $5$ és $5$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{5}{5} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $5$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $5$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

La definició. Un anell és noetherià si tots els seus ideals són finitament generats, o equivalentment si tota cadena creixent d'ideals s'acaba estabilitzant.

Aquest cas: Els polinomis en tres variables sobre els racionals és noetherià, perquè Hilbert aplicat tres vegades.

L'eina que ho decideix gairebé sempre és el teorema de la base de Hilbert: si un anell és noetherià, també ho és l'anell de polinomis sobre ell. Aplicat repetidament, dona que els polinomis en qualsevol nombre finit de variables sobre un cos o sobre els enters són noetherians.

La finitud és essencial. Amb infinites variables la propietat es perd, i amb ella la garantia que tot sistema d'equacions polinòmiques equival a un sistema finit.

Què no garanteix. Que els generadors siguin pocs ni que sigui fàcil trobar-los. «Existeix un nombre finit» i «es pot calcular còmodament» són coses diferents.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $6$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $6$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $6$ és $6$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{6}{6} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $6$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $6$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

La definició. Un anell és noetherià si tots els seus ideals són finitament generats, o equivalentment si tota cadena creixent d'ideals s'acaba estabilitzant.

Aquest cas: Els polinomis en infinites variables sobre un cos és no noetherià, perquè l'ideal generat per totes les variables no es pot generar amb un nombre finit.

L'eina que ho decideix gairebé sempre és el teorema de la base de Hilbert: si un anell és noetherià, també ho és l'anell de polinomis sobre ell. Aplicat repetidament, dona que els polinomis en qualsevol nombre finit de variables sobre un cos o sobre els enters són noetherians.

La finitud és essencial. Amb infinites variables la propietat es perd, i amb ella la garantia que tot sistema d'equacions polinòmiques equival a un sistema finit.

Què no garanteix. Que els generadors siguin pocs ni que sigui fàcil trobar-los. «Existeix un nombre finit» i «es pot calcular còmodament» són coses diferents.