Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $60$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $60$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $60$ és $30$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{60}{30} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $60$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $60$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $61$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $61$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $61$ és $61$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{61}{61} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $61$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $61$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $62$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $62$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $62$ és $62$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{62}{62} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $62$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $62$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $63$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $63$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $63$ és $21$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{63}{21} = 3$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $63$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $63$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $64$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $64$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $64$ és $2$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{64}{2} = 32$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $64$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $64$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $65$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $65$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $65$ és $65$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{65}{65} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $65$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $65$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $66$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $66$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $66$ és $66$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{66}{66} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $66$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $66$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $67$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $67$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $67$ és $67$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{67}{67} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $67$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $67$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $68$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $68$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $68$ és $34$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{68}{34} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $68$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $68$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $69$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $69$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $69$ és $69$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{69}{69} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $69$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $69$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.