Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $50$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $50$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $50$ és $10$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{50}{10} = 5$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $50$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $50$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $51$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $51$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $51$ és $51$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{51}{51} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $51$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $51$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $52$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $52$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $52$ és $26$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{52}{26} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $52$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $52$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $53$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $53$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $53$ és $53$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{53}{53} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $53$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $53$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $54$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $54$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $54$ és $6$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{54}{6} = 9$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $54$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $54$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $55$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $55$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $55$ és $55$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{55}{55} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $55$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $55$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $56$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $56$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $56$ és $14$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{56}{14} = 4$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $56$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $56$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $57$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $57$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $57$ és $57$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{57}{57} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $57$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $57$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $58$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $58$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $58$ és $58$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{58}{58} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $58$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $58$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $59$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $59$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $59$ és $59$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{59}{59} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $59$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $59$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.