Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $80$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $80$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $80$ és $10$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{80}{10} = 8$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $80$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $80$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $81$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $81$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $81$ és $3$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{81}{3} = 27$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $81$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $81$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $82$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $82$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $82$ és $82$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{82}{82} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $82$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $82$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $83$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $83$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $83$ és $83$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{83}{83} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $83$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $83$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $84$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $84$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $84$ és $42$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{84}{42} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $84$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $84$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $85$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $85$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $85$ és $85$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{85}{85} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $85$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $85$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $86$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $86$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $86$ és $86$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{86}{86} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $86$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $86$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $87$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $87$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $87$ és $87$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{87}{87} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $87$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $87$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $88$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $88$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $88$ és $22$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{88}{22} = 4$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $88$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $88$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $89$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $89$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $89$ és $89$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{89}{89} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $89$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $89$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.