Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $70$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $70$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $70$ és $70$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{70}{70} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $70$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $70$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $71$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $71$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $71$ és $71$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{71}{71} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $71$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $71$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $72$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $72$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $72$ és $6$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{72}{6} = 12$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $72$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $72$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $73$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $73$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $73$ és $73$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{73}{73} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $73$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $73$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $74$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $74$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $74$ és $74$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{74}{74} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $74$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $74$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $75$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $75$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $75$ és $15$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{75}{15} = 5$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $75$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $75$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $76$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $76$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $76$ és $38$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{76}{38} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $76$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $76$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $77$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $77$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $77$ és $77$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{77}{77} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $77$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $77$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $78$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $78$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $78$ és $78$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{78}{78} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $78$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $78$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $79$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $79$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $79$ és $79$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{79}{79} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $79$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $79$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.