Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $30$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $30$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $30$ és $30$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{30}{30} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $30$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $30$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $31$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $31$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $31$ és $31$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{31}{31} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $31$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $31$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $32$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $32$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $32$ és $2$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{32}{2} = 16$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $32$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $32$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $33$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $33$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $33$ és $33$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{33}{33} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $33$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $33$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $34$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $34$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $34$ és $34$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{34}{34} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $34$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $34$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $35$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $35$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $35$ és $35$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{35}{35} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $35$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $35$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $36$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $36$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $36$ és $6$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{36}{6} = 6$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $36$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $36$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $37$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $37$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $37$ és $37$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{37}{37} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $37$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $37$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $38$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $38$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $38$ és $38$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{38}{38} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $38$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $38$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $39$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $39$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $39$ és $39$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{39}{39} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $39$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $39$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.