Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $90$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $90$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $90$ és $30$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{90}{30} = 3$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $90$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $90$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $91$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $91$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $91$ és $91$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{91}{91} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $91$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $91$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $92$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $92$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $92$ és $46$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{92}{46} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $92$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $92$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $93$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $93$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $93$ és $93$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{93}{93} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $93$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $93$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $94$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $94$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $94$ és $94$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{94}{94} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $94$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $94$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $95$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $95$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $95$ és $95$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{95}{95} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $95$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $95$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $96$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $96$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $96$ és $6$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{96}{6} = 16$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $96$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $96$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $97$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $97$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $97$ és $97$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{97}{97} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $97$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $97$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $98$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $98$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $98$ és $14$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{98}{14} = 7$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $98$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $98$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $99$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $99$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $99$ és $33$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{99}{33} = 3$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $99$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $99$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.