Exercicis d'àlgebra commutativa

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $40$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $40$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $40$ és $10$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{40}{10} = 4$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $40$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $40$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $41$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $41$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $41$ és $41$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{41}{41} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $41$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $41$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $42$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $42$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $42$ és $42$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{42}{42} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $42$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $42$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $43$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $43$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $43$ és $43$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{43}{43} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $43$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $43$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $44$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $44$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $44$ és $22$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{44}{22} = 2$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $44$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $44$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $45$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $45$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $45$ és $15$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{45}{15} = 3$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $45$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $45$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $46$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $46$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $46$ és $46$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{46}{46} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $46$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $46$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $47$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $47$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $47$ és $47$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{47}{47} = 1$

Aquí només hi ha un nilpotent: la classe zero. Això passa exactament quan $47$ és lliure de quadrats, i vol dir que l'anell és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $47$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $48$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $48$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $48$ és $6$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{48}{6} = 8$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $48$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $48$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.

El criteri. La classe d'$a$ és nilpotent mòdul $49$ si i només si $a$ és divisible per tots els primers que divideixen $49$. (Elevant a una potència prou alta, cada factor primer acaba apareixent amb l'exponent que cal.)

El radical. El producte dels primers diferents de $49$ és $7$, i els nilpotents són exactament els seus múltiples dins de l'anell:

$\frac{49}{7} = 7$

Hi ha nilpotents no nuls, cosa que passa exactament quan $49$ no és lliure de quadrats. L'anell no és reduït.

La connexió amb el radical d'un ideal. Aquests elements són precisament els del radical de l'ideal generat per $49$ dins dels enters, vistos al quocient. Aquesta correspondència entre nilpotents del quocient i radical de l'ideal és general.