Àlgebra commutativa: mòduls, anells noetherians, localització i radicals

L'àlgebra commutativa és el llenguatge en què es parla de sistemes d'equacions polinòmiques. La idea de fons és que a un conjunt de solucions li correspon un ideal, i que les propietats geomètriques del conjunt es tradueixen en propietats algebraiques de l'ideal. Aquesta pàgina recull les construccions bàsiques que fan possible aquesta traducció.

Alguns resultats centrals s'enuncien sense demostració completa i s'indica quan és així.

Mòduls: espais vectorials sense inversos

Un mòdul sobre un anell commutatiu és un grup abelià amb una multiplicació per escalars que compleix les regles habituals d'un espai vectorial. L'única diferència és que els escalars no nuls no tenen per què ser invertibles, i aquesta diferència ho canvia gairebé tot.

Un mòdul és finitament generat si un nombre finit d'elements el generen. Un ideal és, en particular, un submòdul de l'anell vist sobre ell mateix, i aquesta perspectiva és la que permet estudiar relacions entre generadors de manera sistemàtica.

Anells noetherians

Un anell és noetherià si tots els seus ideals són finitament generats. Equivalentment, si tota cadena creixent d'ideals s'acaba estabilitzant.

Les dues condicions són el mateix, i val la pena veure per què. Si tots els ideals són finitament generats, la unió d'una cadena creixent també ho és, i els seus generadors (que són finits) ja viuen en algun terme de la cadena, que per tant és el màxim. I al revés, un ideal no finitament generat permetria anar triant elements nous indefinidament i construir una cadena que no s'estabilitza mai.

El teorema de la base de Hilbert afirma que si un anell és noetherià, també ho és l'anell de polinomis sobre ell. S'enuncia aquí sense prova. Per inducció, els polinomis en qualsevol nombre finit de variables sobre un cos són noetherians.

Localització: fabricar inversos

Donat un subconjunt tancat pel producte que conté la unitat i no conté el zero, la localització construeix formalment les fraccions amb denominadors en aquell conjunt. La igualtat de fraccions és

$$\frac{a}{s} = \frac{b}{t} \quad\Longleftrightarrow\quad \exists u \in S:\ u(at-bs) = 0.$$

La propietat que caracteritza la construcció és universal: qualsevol homomorfisme que converteixi els elements del conjunt en unitats factoritza de manera única per la localització. Dit d'una altra manera, localitzar és la manera mínima de fer invertibles uns elements concrets.

El cas més important és localitzar respecte del complementari d'un ideal primer. El resultat és un anell local: té un únic ideal maximal. Geomètricament, això correspon a mirar només el que passa a prop d'un punt, i és la raó per la qual la localització és omnipresent en geometria algebraica.

Radicals i zeros

El radical d'un ideal són els elements alguna potència dels quals hi pertany. És un ideal, i té una lectura directa al quocient: un element és nilpotent al quocient exactament quan és al radical.

L'exemple mínim ho aclareix: el radical de l'ideal generat per $x^{2}$ és l'ideal generat per $x$. Però els quocients no són iguals: al quocient per $x^{2}$, la classe de $x$ no és nul·la i tanmateix el seu quadrat sí. Aquesta «multiplicitat infinitesimal» és informació real que el radical esborra.

Per a un ideal de polinomis en diverses variables, es defineixen el conjunt dels seus zeros comuns i, recíprocament, l'ideal dels polinomis que s'anul·len sobre un conjunt. El Nullstellensatz fort, sobre un cos algebraicament tancat, diu que aplicar les dues operacions seguides dona exactament el radical. S'enuncia sense prova.

Bases de Gröbner

Fixat un ordre entre els monomis, una base de Gröbner d'un ideal és un conjunt finit de generadors tal que els seus termes líders generen l'ideal de tots els termes líders. La propietat que la fa útil és que permet decidir la pertinença a l'ideal amb una divisió amb residu únic, i fer eliminació de variables.

L'algorisme de Buchberger la construeix afegint residus fins a complir un criteri finit. Funciona sempre, però el cost pot ser enorme i depèn molt de l'ordre monomial escollit.

Exercici resolt: nilpotents d'un quocient

Quins són els elements nilpotents del quocient dels polinomis sobre un cos per l'ideal generat per $x^{2}$?

Els elements. Cada classe té un únic representant de la forma $a + bx$, perquè el residu de dividir per $x^{2}$ té grau com a molt $1$.

Cas $a = 0$. El quadrat de $bx$ és $b^{2}x^{2}$, que és zero al quocient. Són nilpotents.

Cas $a \neq 0$. La classe és una unitat, amb invers

$$\frac{1}{a} - \frac{b}{a^{2}}x,$$

com es comprova multiplicant i eliminant el terme amb $x^{2}$. I en un anell no nul, cap unitat pot ser nilpotent: si ho fos, elevant la identitat a la potència adequada sortiria que la unitat és zero.

Conclusió: els nilpotents són exactament les classes de la forma $bx$.

El que això il·lustra. El radical de l'ideal és el generat per $x$, i efectivament els seus elements són els que es tornen nilpotents al quocient. Aquest quocient s'anomena de vegades «els nombres duals» i és el model algebraic d'un punt amb una direcció tangent: encapsula la idea de «infinitesimal de primer ordre».

Exercici resolt: cadenes d'ideals als enters

Justifica que els enters són un anell noetherià.

Per generació finita. Tot ideal dels enters és el conjunt de múltiples d'un sol número: pren el menor enter positiu de l'ideal i aplica la divisió euclidiana a qualsevol altre element; el residu ha de ser zero per minimalitat. Per tant tot ideal està generat per un element, i en particular és finitament generat.

Per cadenes. Una cadena creixent correspon a una cadena de divisibilitats, on cada generador divideix l'anterior. Com que els divisors positius d'un número són finits, la cadena s'ha d'estabilitzar.

Conseqüència via Hilbert. Com que els enters són noetherians, els polinomis amb coeficients enters també ho són, i per inducció els polinomis en qualsevol nombre finit de variables. El mateix argument amb un cos com a punt de partida dona que els anells de polinomis sobre cossos són noetherians, que és el resultat que realment s'utilitza en geometria algebraica.

Un contraexemple per contrast: l'anell de polinomis en infinites variables no és noetherià, perquè l'ideal generat per totes elles no es pot generar amb un nombre finit.