Aproximacions i errors: arrodonir, truncar i estimar

En matemàtiques escolars gairebé tot és exacte, però fora de l'aula pràcticament res no ho és: una mesura, un preu, una distància. Saber quant t'equivoques quan aproximes és el que distingeix un resultat útil d'un número sense sentit.

El que has de dominar abans: decimals i operacions amb decimals.

Arrodonir i truncar

Truncar és tallar les xifres que sobren i prou.

Arrodonir és tallar, però mirant la primera xifra que elimines: si és $5$ o més, puges una unitat l'última que et quedes; si és menor que $5$, la deixes igual.

Amb $\pi = 3{,}14159\ldots$, a dues xifres decimals:

$$\text{truncat: } 3{,}14, \qquad \text{arrodonit: } 3{,}14.$$

I a tres:

$$\text{truncat: } 3{,}141, \qquad \text{arrodonit: } 3{,}142.$$

Arrodonir és sempre millor, perquè l'error que comets és com a màxim la meitat del que comets truncant. Truncar sempre et queda curt; arrodonir et pot quedar curt o llarg, però menys.

Error absolut i error relatiu

Si $V$ és el valor exacte i $A$ l'aproximació:

$$E_{a} = |V - A|, \qquad E_{r} = \frac{E_{a}}{|V|}.$$

L'absolut té les mateixes unitats que la magnitud (metres, euros). El relatiu no té unitats i sovint s'expressa en percentatge.

El relatiu és el que t'informa de debò, perquè et diu l'error en comparació amb la mida del que mesures. Equivocar-te en $1$ cm medint un llapis és greu; equivocar-te en $1$ cm medint un camp de futbol no és res. L'error absolut és el mateix en tots dos casos; el relatiu ho distingeix.

Xifres significatives

Són les que aporten informació: totes menys els zeros que només serveixen per situar la coma. $0{,}00340$ té tres xifres significatives ($3$, $4$ i el zero final, que sí que informa).

No donis més xifres de les que tens. Si has medit amb una cinta de centímetres, escriure un resultat amb cinc decimals és fals: estàs afirmant una precisió que no tens.

Exercici resolt: arrodonir i truncar

Arrodoneix i trunca $7{,}3862$ a dues xifres decimals, i digues quin dels dos s'acosta més.

Truncar: talles i prou → $7{,}38$.

Arrodonir: la primera xifra que elimines és el $6$, que és $\geq 5$, de manera que puges el $8$ → $7{,}39$.

Quin s'acosta més?

$$|7{,}3862 - 7{,}38| = 0{,}0062, \qquad |7{,}3862 - 7{,}39| = 0{,}0038.$$

L'arrodonit, amb un error gairebé la meitat del truncat.

Això no és casualitat: arrodonint, l'error mai no passa de mitja unitat de l'última xifra que conserves ($0{,}005$ aquí); truncant pot arribar a una unitat sencera ($0{,}01$). Per això es prefereix sempre arrodonir.

Exercici resolt: error absolut i relatiu

S'aproxima $\dfrac{22}{7}$ per $3{,}14$. Calcula l'error absolut i el relatiu.

Valor exacte. $\dfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$

Error absolut.

$$E_{a} = \left|3{,}142857 - 3{,}14\right| = 0{,}002857\ldots \approx 0{,}0029.$$

Error relatiu.

$$E_{r} = \frac{0{,}002857}{3{,}142857} \approx 0{,}000909 \approx 0{,}09\,\%.$$

Interpretació. Menys d'una mil·lèsima part: una aproximació molt bona. Per a qualsevol càlcul escolar, $3{,}14$ és més que suficient.

Un detall de mètode. Al denominador del relatiu hi va el valor exacte, no l'aproximació. Aquí la diferència és mínima perquè els dos nombres són gairebé iguals, però en aproximacions grolleres sí que es nota, i la definició és clara: es divideix per $|V|$.

La precisió que pots afirmar

Hi ha una idea que els exercicis d'aquest tema intenten ensenyar i que sovint passa desapercebuda: el nombre de xifres amb què escrius un resultat és una afirmació sobre la teva precisió.

Si dius que una taula fa $1{,}2$ metres, estàs dient que l'has medit amb precisió de decímetres. Si dius que fa $1{,}200$ metres, estàs dient que l'has medit amb precisió de mil·límetres, cosa que amb una cinta mètrica normal és falsa. Els dos nombres valen el mateix, però no diuen el mateix.

D'aquí surt la regla pràctica: en un càlcul amb dades mesurades, el resultat no pot tenir més xifres significatives que la dada menys precisa que has fet servir. Si multipliques una longitud de $2{,}4$ m per una de $3{,}15$ m, la calculadora et dirà $7{,}56$, però només tens dues xifres fiables, de manera que el resultat honest és $7{,}6$ metres quadrats.

Això xoca amb l'instint d'escriure tots els decimals que surten a la pantalla. La calculadora no sap d'on venen les teves dades: et dona deu xifres sempre, i la majoria no signifiquen res.

Arrodonir diners i arrodonir mesures

Un cas que trobaràs sovint i que té les seves pròpies regles. Amb diners, l'arrodoniment és a dos decimals perquè el cèntim és la unitat més petita que existeix, i no és una aproximació sinó una obligació: un preu de $3{,}333\ldots$ euros per unitat s'ha de cobrar com $3{,}33$ o $3{,}34$.

Fixa't en el que passa quan multipliques després d'arrodonir. Si un article val $\frac{10}{3}$ euros i en compres tres, el total exacte és $10$ euros, però si arrodoneixes el preu unitari a $3{,}33$ i multipliques, et surten $9{,}99$. Aquest cèntim que falta és precisament l'error d'arrodoniment amplificat, i és el motiu de la regla d'arrodonir només al final.

On ho faràs servir

Tot el que mesuris a física i a tecnologia passa per aquí: no hi ha cap instrument exacte, i qualsevol resultat experimental s'ha de donar amb el seu error. A estadística, els percentatges i les enquestes tenen un marge d'error que és exactament un error relatiu. I a la vida quotidiana, l'estimació ràpida és la manera de detectar que un preu, un pressupost o una factura no quadren.

Si et queda una sola idea del tema, que sigui aquesta: un número sense cap indicació de la seva precisió és un número del qual no et pots refiar.