Probabilitat condicionada: canviar el grup de referència

⏱ 6 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 110 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Condicionar és canviar el grup de referència. Quan saps que ha passat una cosa, ja no treballes amb tota la població sinó amb el subconjunt on aquesta cosa passa. Tot el tema surt d'aquesta idea, i l'error central és no canviar el denominador.

El que has de dominar abans: taules de doble entrada, fraccions i diagrames d'arbre.

La definició

P(A \mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \qquad\text{amb } P(B) > 0.

Es llegeix «probabilitat d' $A$ sabent que ha passat $B$ ». El nou univers de referència és $B$ , i això és el que explica el denominador.

En una taula de recomptes es fa directament: divideix els casos que compleixen totes dues condicions pels casos de la condició coneguda.

La regla del producte

Reordenant la definició:

P(A\cap B) = P(B)\,P(A\mid B).

És exactament el que fa un arbre quan multiplica dues branques: la primera és $P(B)$ i la segona és la condicionada.

Sumar camins

Si $B$ i $B^{c}$ cobreixen tots els casos:

P(A) = P(B)\,P(A\mid B) + P(B^{c})\,P(A\mid B^{c}).

És una suma de camins incompatibles, la mateixa idea del tema anterior escrita amb condicionades.

Les dues condicionals inverses

$P(A\mid B)$ i $P(B\mid A)$ són números diferents, i no es poden intercanviar. Tenen denominadors diferents, perquè la informació coneguda és una altra.

Per passar d'una a l'altra cal reconstruir els recomptes o aplicar la definició. No hi ha cap manera de girar la barra sense més.

«Entre els que aproven» canvia el denominador

Quan un enunciat diu «entre els que aproven», el denominador és el total d'aprovats, no el total general.

Substituir-lo pel total de la població és l'error central del tema, i es detecta perquè el resultat surt sistemàticament massa petit.

I una segona idea que convé tenir clara: una probabilitat condicionada pot ser gran encara que l'esdeveniment sigui poc freqüent en el conjunt total. Si només el $2\,\%$ de la població compleix una condició, però dins d'un subgrup molt petit la compleix el $90\,\%$ , totes dues afirmacions són certes alhora: parlen de denominadors diferents.

Aquesta confusió és l'origen de molts malentesos amb resultats de proves mèdiques i amb perfils de risc.

Una taula de doble entrada

En $100$ alumnes tenim aquesta taula:

	Aproven	No aproven	Total
Practiquen	$48$	$12$	$60$
No practiquen	$20$	$20$	$40$
Total	$68$	$32$	$100$

Calcula $P(\text{aprovar} \mid \text{practicar})$ i $P(\text{practicar} \mid \text{aprovar})$ .

Comprovació prèvia de la taula. Les files sumen $60$ i $40$ , que fan $100$ ✓ Les columnes sumen $68$ i $32$ , que fan $100$ ✓ La taula és coherent.

Primera condicional. «Entre els que practiquen»: el denominador és $60$ .

P(\text{aprovar}\mid\text{practicar}) = \frac{48}{60} = 0{,}8 = 80\,\%.

Segona condicional. «Entre els que aproven»: el denominador és $68$ .

P(\text{practicar}\mid\text{aprovar}) = \frac{48}{68} = \frac{12}{17} \approx 0{,}706 = 70{,}6\,\%.

Els dos números són diferents tot i tenir el mateix numerador. El que canvia és el denominador, perquè la informació coneguda és una altra: en el primer cas sabem que practica, en el segon que ha aprovat.

Per contrast, la probabilitat sense condicionar.

P(\text{aprovar}) = \frac{68}{100} = 68\,\%.

La lectura completa. Aprovar és més probable entre els que practiquen ( $80\,\%$ ) que en el conjunt ( $68\,\%$ ), i més probable entre els que practiquen que entre els que no ( $20/40 = 50\,\%$ ). Hi ha una associació entre practicar i aprovar.

La precaució obligatòria. La taula descriu una associació observada: no demostra per si sola cap relació causal. Podria ser que practicar ajudés a aprovar, que els que ja van bé tinguin més temps per practicar, o que una tercera cosa (hàbits, suport familiar, temps disponible) expliqui les dues. És exactament la idea del tema E05.

Sumar camins per trobar una probabilitat total

Amb la taula de l'exemple, comprova que $P(\text{aprovar})$ es pot obtenir sumant camins.

Els dos camins. Un alumne pot aprovar practicant o aprovar sense practicar, i aquests dos casos són incompatibles i cobreixen totes les possibilitats.

Les probabilitats dels dos grups.

P(\text{practicar}) = \frac{60}{100} = 0{,}6, \qquad P(\text{no practicar}) = \frac{40}{100} = 0{,}4.

Les condicionades dins de cada grup.

P(\text{aprovar}\mid\text{practicar}) = \frac{48}{60} = 0{,}8,

P(\text{aprovar}\mid\text{no practicar}) = \frac{20}{40} = 0{,}5.

Suma els camins.

P(\text{aprovar}) = 0{,}6\cdot 0{,}8 + 0{,}4\cdot 0{,}5 = 0{,}48 + 0{,}20 = 0{,}68.

Comprovació amb la taula. $68/100 = 0{,}68$ ✓

Per què aquesta descomposició és útil. Perquè moltes vegades no et donen la taula sencera: et donen les proporcions dels grups i les probabilitats dins de cada grup. Amb aquesta fórmula pots reconstruir la probabilitat total sense tenir els recomptes.

I un control de coherència que val sempre. La probabilitat total ha de quedar entre les dues condicionades: entre $0{,}5$ i $0{,}8$ . I efectivament $0{,}68$ hi és ✓ És una mitjana ponderada de les dues, amb els pesos dels dos grups, exactament com la mitjana conjunta del tema E03.

Fixa't en una cosa. $0{,}68$ està més a prop de $0{,}8$ que de $0{,}5$ , perquè el grup dels que practiquen és més gran ( $60$ contra $40$ ). El pes de cada grup és el que decideix cap a quin costat s'inclina el total.

Escriu el denominador en paraules abans de calcular

Davant de qualsevol condicional, escriu quin és el grup de referència: «entre els $60$ que practiquen», «entre els $68$ que aproven».

Aquesta frase és el denominador, i haver-la escrita evita l'error central del tema. Amb una taula de doble entrada, el denominador és sempre un total de fila o de columna, mai el total general, tret que no hi hagi condició.

Exercici resolt: una condicional dins d'una fila

Amb la taula de l'exemple, troba $P(\text{no aprovar} \mid \text{practicar})$ .

Identifica el grup de referència. «Entre els que practiquen»: són $60$ alumnes, la primera fila.

Identifica el numerador. Dels que practiquen, els que no aproven són $12$ .

P(\text{no aprovar}\mid\text{practicar}) = \frac{12}{60} = 0{,}2 = 20\,\%.

Comprovació amb el complement. Havíem calculat $P(\text{aprovar}\mid\text{practicar}) = 0{,}8$ . I efectivament

0{,}8 + 0{,}2 = 1 \quad\checkmark

Per què la regla del complement val també amb condicionades. Perquè dins del grup de referència (els que practiquen), aprovar i no aprovar són complementaris: cobreixen tots els casos i no se solapen. Per tant

P(A^{c}\mid B) = 1 - P(A\mid B).

Aquesta propietat estalvia feina i serveix de comprovació.

L'error que es detecta amb aquesta comprovació. Si haguessis fet servir el denominador $100$ , obtindries $12/100 = 0{,}12$ , i llavors $0{,}8 + 0{,}12 \neq 1$ : la comprovació del complement delata immediatament el denominador equivocat.

Exercici resolt: girar la condicional

Amb la taula de l'exemple, calcula $P(\text{no practicar} \mid \text{no aprovar})$ i compara-la amb $P(\text{no aprovar} \mid \text{no practicar})$ .

Primera condicional. «Entre els que no aproven»: el denominador és el total de la columna, $32$ . D'aquests, els que no practiquen són $20$ :

P(\text{no practicar}\mid\text{no aprovar}) = \frac{20}{32} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%.

Segona condicional. «Entre els que no practiquen»: el denominador és el total de la fila, $40$ . D'aquests, els que no aproven són $20$ :

P(\text{no aprovar}\mid\text{no practicar}) = \frac{20}{40} = 0{,}5 = 50\,\%.

Els dos números són diferents ( $62{,}5\,\%$ contra $50\,\%$ ) tot i compartir el numerador $20$ . No es pot girar la barra.

Com es relacionen les dues. Per la definició:

P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \qquad P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}.

El numerador és el mateix i els denominadors són diferents, de manera que el quocient entre les dues condicionades és $P(A)/P(B)$ . Aquí: $\frac{40/100}{32/100} = \frac{40}{32} = 1{,}25$ , i efectivament $50 \cdot 1{,}25 = 62{,}5$ ✓

La manera pràctica de girar una condicional. Reconstruir els recomptes: amb la taula completa es llegeix directament qualsevol condicional. Si només et donen probabilitats, es pot muntar una taula amb una població imaginària de $100$ o $1\,000$ individus, omplir-la i llegir-la. És el camí més segur i el que menys fórmules demana.

Per què aquesta distinció importa fora de l'aula. És el nucli dels malentesos sobre proves mèdiques: «la probabilitat que la prova doni positiu si estàs malalt» i «la probabilitat d'estar malalt si la prova dona positiu» són dos números que poden ser molt diferents, i confondre'ls porta a conclusions greus. A batxillerat, la relació entre tots dos es formalitza amb el teorema de Bayes.

On ho faràs servir

La probabilitat condicionada és la base de tota la lectura de taules de doble entrada, que apareixen a estadística, a ciències socials i a qualsevol informe amb dades creuades.

A batxillerat es desenvolupa amb el teorema de la probabilitat total i el teorema de Bayes, que és precisament la manera formal de girar una condicional, i és la base de la diagnosi mèdica, dels filtres de correu brossa i de bona part de la intel·ligència artificial.

I la distinció entre les dues condicionals inverses és, probablement, la idea d'aquest bloc amb més conseqüències pràctiques: entendre-la et protegeix de malinterpretar resultats de proves, estadístiques de riscos i titulars sobre probabilitats.

Ara prova-ho tu. 110 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen