Espai mostral i esdeveniments: unió, intersecció i complement

Abans de calcular cap probabilitat cal descriure què pot passar. Aquest primer tema és vocabulari i conjunts, i és on es decideix si la resta del bloc anirà bé: la major part dels errors de probabilitat són errors de descripció, no de càlcul.

El que has de dominar abans: conjunts, fraccions i la lectura atenta d'enunciats.

Experiment aleatori i espai mostral

Un experiment aleatori té resultats que no es poden predir amb certesa en cada repetició, dins del model que s'adopta.

L'espai mostral $\Omega$ és el conjunt de tots els resultats possibles. Escriure'l explícitament és el primer pas de qualsevol problema.

Un esdeveniment és un subconjunt d'aquests resultats. L'esdeveniment segur és $\Omega$ sencer i l'impossible és el conjunt buit $\varnothing$.

Les tres operacions

$$A \cup B: \quad \text{passa } A \ \textbf{o} \ B,$$

inclòs el cas que passin tots dos. Aquesta inclusió és la diferència més important entre l'«o» de les matemàtiques i l'«o» del llenguatge corrent.

$$A \cap B: \quad \text{passen } \textbf{tots dos}.$$ $$A^{c}: \quad \textbf{no} \text{ passa } A.$$

Dos esdeveniments són incompatibles si no poden passar alhora, és a dir si

$$A \cap B = \varnothing.$$

Les propietats bàsiques de la probabilitat

$$0 \leq P(A) \leq 1, \qquad P(\Omega) = 1, \qquad P(\varnothing) = 0.$$

I la regla del complement, que és la més útil del tema:

$$P(A^{c}) = 1 - P(A).$$

Una nota de precisió. En models continus, probabilitat zero no és exactament sinònim d'impossible. En aquest bloc treballem sobretot amb espais finits, on sí que ho és.

Exercici resolt: un esdeveniment i el seu complement

En un dau, escriu l'esdeveniment «menys de $3$» i el seu complement.

L'espai mostral. $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.

L'esdeveniment. «Menys de $3$» vol dir estrictament menor que $3$:

$$A = \{1, 2\}.$$

El complement. Tots els resultats que no són a $A$:

$$A^{c} = \{3, 4, 5, 6\}.$$

Comprovació. $A$ i $A^{c}$ no comparteixen cap element, i la seva unió és tot $\Omega$ ✓ Això és el que caracteritza un complement.

El detall de llenguatge que decideix l'exercici. «Menys de $3$» no inclou el $3$. Si l'enunciat digués «$3$ o menys», l'esdeveniment seria $\{1,2,3\}$ i el complement $\{4,5,6\}$. Aquesta diferència d'un element canvia totes les probabilitats, i és el tipus d'error que es comet llegint de pressa.

Les probabilitats, de passada. Si el dau és equilibrat, $P(A) = 2/6 = 1/3$ i $P(A^{c}) = 4/6 = 2/3$. I efectivament $1/3 + 2/3 = 1$ ✓

Exercici resolt: la regla del complement

Si $P(A) = 0{,}35$, quant val $P(A^{c})$?

Aplica la regla del complement.

$$P(A^{c}) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65.$$

Comprovació. Els dos han de sumar $1$: $0{,}35 + 0{,}65 = 1$ ✓

Per què la regla és certa. $A$ i $A^{c}$ són incompatibles (no poden passar alhora) i la seva unió és tot l'espai mostral, de manera que les seves probabilitats han de sumar $P(\Omega) = 1$.

Per què aquesta regla és tan útil. Molts esdeveniments són molt més fàcils de descriure pel seu contrari. Calcular directament la probabilitat de «almenys un encert en cinc intents» exigiria sumar els casos d'un, dos, tres, quatre i cinc encerts; calcular «cap encert» és un sol càlcul, i després es resta d'$1$.

Una comprovació de coherència que convé fer sempre. Qualsevol probabilitat ha d'estar entre $0$ i $1$. Si en un exercici et surt $1{,}3$ o $-0{,}2$, hi ha un error segur, i normalment és d'haver sumat probabilitats de casos que se solapen.

On ho faràs servir

Aquest vocabulari és la base de tot el bloc: la regla de Laplace, els arbres i la probabilitat condicionada es formulen amb unions, interseccions i complements.

A batxillerat s'hi afegeixen les lleis de De Morgan i l'axiomàtica de Kolmogórov, que formalitzen aquestes mateixes idees, i la probabilitat condicionada es desenvolupa amb el teorema de Bayes.

I la tècnica del complement, en concret, és una de les més rendibles de tota la matemàtica aplicada: en fiabilitat de sistemes, en control de qualitat i en qualsevol càlcul de «almenys un», calcular el contrari és sempre el camí curt.