Exercicis d'integrals

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $2 x$. L'exponent puja de $1$ a $2$ i dividim per $2$: $x^{2}$.

El $-3$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- 3 x$.

$\int 2 x - 3\,dx = x^{2} - 3 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $2 x - 3$.

En derivar $e^{2 x}$ sortia un $2$ multiplicant. Integrar és desfer-ho, o sigui que aquí el $2$ va a dividir:

$\int e^{kx}\,dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$

$\int e^{2 x}\,dx = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Comprovació ràpida: si ho deriva, el $2$ torna a pujar i es cancel·la amb el denominador.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = x + 1$ i $u' = 1$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{1}{x + 1}\,dx = \ln\left|x + 1\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $x + 1$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el cosinus es tornava menys sinus. Per tant, integrar un sinus dona menys cosinus.

I com sempre a les integrals, el $1$ de dins va a dividir:

$\int \sin{\left(x \right)}\,dx = - \cos{\left(x \right)} + C$

Si desenvolupessis $\left(2 x + 1\right)^{2}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $2$ a $3$ i divideix per $3$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $2$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $2$:

$\int \left(2 x + 1\right)^{2}\,dx = \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6} + C$

Que és el mateix que $\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{2}}{2} - 3 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = -4 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} x - 3\,dx = -4 - 0 = -4$

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \text{ i } x = 2$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-1}^{2} \left[(x + 2) - (x^{2})\right] dx = \frac{9}{2} \approx 4.5000$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $x \left(x - 1\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 1$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{1} (x^{2} - x)\,dx = - \frac{1}{6}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{1}{6} \approx 0.1667$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $2 x^{2}$. L'exponent puja de $2$ a $3$ i dividim per $3$: $\frac{2 x^{3}}{3}$.

El $-3$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- 3 x$.

$\int 2 x^{2} - 3\,dx = \frac{2 x^{3}}{3} - 3 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $2 x^{2} - 3$.

En derivar $e^{3 x}$ sortia un $3$ multiplicant. Integrar és desfer-ho, o sigui que aquí el $3$ va a dividir:

$\int e^{kx}\,dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$

$\int e^{3 x}\,dx = \frac{e^{3 x}}{3} + C$

Comprovació ràpida: si ho deriva, el $3$ torna a pujar i es cancel·la amb el denominador.