Exercicis d'integrals

Si desenvolupessis $\left(4 x + 1\right)^{5}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $5$ a $6$ i divideix per $6$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $4$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $4$:

$\int \left(4 x + 1\right)^{5}\,dx = \frac{\left(4 x + 1\right)^{6}}{24} + C$

Que és el mateix que $\frac{512 x^{6}}{3} + 256 x^{5} + 160 x^{4} + \frac{160 x^{3}}{3} + 10 x^{2} + x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = x^{2}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = 9 \qquad F(1) = 1$

$\int_{1}^{3} 2 x\,dx = 9 - 1 = 8$

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 6 x + 7 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23}}{2} \text{ i } x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23}}{2}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23}}{2}}^{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23}}{2}} \left[(6 x + 7) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23}}{2}\right)^{3}}{3} - 3 \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23}}{2}\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23}}{2}\right)^{3}}{3} + 7 \sqrt{23} + 3 \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23}}{2}\right)^{2} \approx 36.7680$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $4 x^{3}$. L'exponent puja de $3$ a $4$ i dividim per $4$: $x^{4}$.

El $7$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $7 x$.

$\int 4 x^{3} + 7\,dx = x^{4} + 7 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $4 x^{3} + 7$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 3 x + 3$ i $u' = 3$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{3}{3 x + 3}\,dx = \ln\left|3 x + 3\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $3 x + 3$ en pot ser.

Si desenvolupessis $\left(4 x + 1\right)^{6}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $6$ a $7$ i divideix per $7$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $4$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $4$:

$\int \left(4 x + 1\right)^{6}\,dx = \frac{\left(4 x + 1\right)^{7}}{28} + C$

Que és el mateix que $\frac{4096 x^{7}}{7} + 1024 x^{6} + 768 x^{5} + 320 x^{4} + 80 x^{3} + 12 x^{2} + x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = x^{2} + 4 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = 21 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} 2 x + 4\,dx = 21 - 0 = 21$

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 2 - x \quad\Longrightarrow\quad x = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4} \text{ i } x = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}}^{- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}} \left[(2 - x) - (2 x^{2})\right] dx = \frac{2 \left(- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{2 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{2}}{2} + \frac{\left(- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{2}}{2} + \sqrt{17} \approx 2.9205$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $4 x^{4}$. L'exponent puja de $4$ a $5$ i dividim per $5$: $\frac{4 x^{5}}{5}$.

El $5$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $5 x$.

$\int 4 x^{4} + 5\,dx = \frac{4 x^{5}}{5} + 5 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $4 x^{4} + 5$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 3 x - 2$ i $u' = 3$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{3}{3 x - 2}\,dx = \ln\left|3 x - 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $3 x - 2$ en pot ser.