Exercicis d'integrals

Si desenvolupessis $\left(3 x + 5\right)^{4}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $4$ a $5$ i divideix per $5$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $3$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $3$:

$\int \left(3 x + 5\right)^{4}\,dx = \frac{\left(3 x + 5\right)^{5}}{15} + C$

Que és el mateix que $\frac{81 x^{5}}{5} + 135 x^{4} + 450 x^{3} + 750 x^{2} + 625 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{4}}{4}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{81}{4} \qquad F(1) = \frac{1}{4}$

$\int_{1}^{3} x^{3}\,dx = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = 20$

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 3 - 2 x \quad\Longrightarrow\quad x = -3 \text{ i } x = 1$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-3}^{1} \left[(3 - 2 x) - (x^{2})\right] dx = \frac{32}{3} \approx 10.6667$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $2 x \left(x - 4\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 4$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{4} (2 x^{2} - 8 x)\,dx = - \frac{64}{3}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{64}{3} \approx 21.3333$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $3 x^{3}$. L'exponent puja de $3$ a $4$ i dividim per $4$: $\frac{3 x^{4}}{4}$.

El $9$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $9 x$.

$\int 3 x^{3} + 9\,dx = \frac{3 x^{4}}{4} + 9 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $3 x^{3} + 9$.

En derivar $e^{- 3 x}$ sortia un $-3$ multiplicant. Integrar és desfer-ho, o sigui que aquí el $-3$ va a dividir:

$\int e^{kx}\,dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$

$\int e^{- 3 x}\,dx = - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Comprovació ràpida: si ho deriva, el $-3$ torna a pujar i es cancel·la amb el denominador.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 2 x + 3$ i $u' = 2$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{2}{2 x + 3}\,dx = \ln\left|2 x + 3\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $2 x + 3$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el cosinus es tornava menys sinus. Per tant, integrar un sinus dona menys cosinus.

I com sempre a les integrals, el $5$ de dins va a dividir:

$\int \sin{\left(5 x \right)}\,dx = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5} + C$

Si desenvolupessis $\left(3 x - 2\right)^{5}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $5$ a $6$ i divideix per $6$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $3$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $3$:

$\int \left(3 x - 2\right)^{5}\,dx = \frac{\left(3 x - 2\right)^{6}}{18} + C$

Que és el mateix que $\frac{81 x^{6}}{2} - 162 x^{5} + 270 x^{4} - 240 x^{3} + 120 x^{2} - 32 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 4 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{129}{4} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} x^{3} + 4\,dx = \frac{129}{4} - 0 = \frac{129}{4}$

En decimals, $32.25$.