Simulacre d'examen d'integrals

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $2 x$. L'exponent puja de $1$ a $2$ i dividim per $2$: $x^{2}$.

El $-3$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- 3 x$.

$\int 2 x - 3\,dx = x^{2} - 3 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $2 x - 3$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 3 x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \text{ i } x = 4$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-1}^{4} \left[(3 x + 4) - (x^{2})\right] dx = \frac{125}{6} \approx 20.8333$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Si desenvolupessis $\left(3 x + 5\right)^{2}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $2$ a $3$ i divideix per $3$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $3$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $3$:

$\int \left(3 x + 5\right)^{2}\,dx = \frac{\left(3 x + 5\right)^{3}}{9} + C$

Que és el mateix que $3 x^{3} + 15 x^{2} + 25 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $2 x \left(x - 4\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 4$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{4} (2 x^{2} - 8 x)\,dx = - \frac{64}{3}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{64}{3} \approx 21.3333$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 3 x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4} \text{ i } x = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4}}^{\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}} \left[(3 x + 4) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{3 \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{2}}{2} + \frac{2 \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{3}}{3} + \frac{3 \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{2}}{2} + 2 \sqrt{41} \approx 10.9387$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Si desenvolupessis $\left(4 x + 1\right)^{5}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $5$ a $6$ i divideix per $6$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $4$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $4$:

$\int \left(4 x + 1\right)^{5}\,dx = \frac{\left(4 x + 1\right)^{6}}{24} + C$

Que és el mateix que $\frac{512 x^{6}}{3} + 256 x^{5} + 160 x^{4} + \frac{160 x^{3}}{3} + 10 x^{2} + x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Si desenvolupessis $\left(5 x + 5\right)^{4}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $4$ a $5$ i divideix per $5$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $5$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $5$:

$\int \left(5 x + 5\right)^{4}\,dx = \frac{\left(5 x + 5\right)^{5}}{25} + C$

Que és el mateix que $125 x^{5} + 625 x^{4} + 1250 x^{3} + 1250 x^{2} + 625 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $6 x^{2}$. L'exponent puja de $2$ a $3$ i dividim per $3$: $2 x^{3}$.

El $-3$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- 3 x$.

$\int 6 x^{2} - 3\,dx = 2 x^{3} - 3 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $6 x^{2} - 3$.

En derivar $e^{2 x}$ sortia un $2$ multiplicant. Integrar és desfer-ho, o sigui que aquí el $2$ va a dividir:

$\int e^{kx}\,dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$

$\int e^{2 x}\,dx = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Comprovació ràpida: si ho deriva, el $2$ torna a pujar i es cancel·la amb el denominador.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 2 x + 2$ i $u' = 2$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{2}{2 x + 2}\,dx = \ln\left|2 x + 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $2 x + 2$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{4}}{2}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = 8 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} 2 x^{3}\,dx = 8 - 0 = 8$

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 6 x - 2$ i $u' = 6$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{6}{6 x - 2}\,dx = \ln\left|6 x - 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $6 x - 2$ en pot ser.