Exercicis d'integrals

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 2 x + 4$ i $u' = 2$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{2}{2 x + 4}\,dx = \ln\left|2 x + 4\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $2 x + 4$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el cosinus es tornava menys sinus. Per tant, integrar un sinus dona menys cosinus.

I com sempre a les integrals, el $6$ de dins va a dividir:

$\int \sin{\left(6 x \right)}\,dx = - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{6} + C$

Si desenvolupessis $\left(4 x + 1\right)^{2}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $2$ a $3$ i divideix per $3$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $4$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $4$:

$\int \left(4 x + 1\right)^{2}\,dx = \frac{\left(4 x + 1\right)^{3}}{12} + C$

Que és el mateix que $\frac{16 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{5}}{5} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{258}{5} \qquad F(1) = \frac{6}{5}$

$\int_{1}^{3} x^{4} + 1\,dx = \frac{258}{5} - \frac{6}{5} = \frac{252}{5}$

En decimals, $50.4$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 3 x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4} \text{ i } x = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4}}^{\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}} \left[(3 x + 4) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{3 \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{2}}{2} + \frac{2 \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{3}}{3} + \frac{3 \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}\right)^{2}}{2} + 2 \sqrt{41} \approx 10.9387$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $3 x \left(x - 3\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 3$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{3} (3 x^{2} - 9 x)\,dx = - \frac{27}{2}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{27}{2} \approx 13.5000$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $3 x^{6}$. L'exponent puja de $6$ a $7$ i dividim per $7$: $\frac{3 x^{7}}{7}$.

El $-1$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- x$.

$\int 3 x^{6} - 1\,dx = \frac{3 x^{7}}{7} - x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $3 x^{6} - 1$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 2 x + 5$ i $u' = 2$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{2}{2 x + 5}\,dx = \ln\left|2 x + 5\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $2 x + 5$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el sinus donava cosinus sense signe. Per tant, integrar un cosinus dona sinus, també sense signe.

I com sempre a les integrals, el $6$ de dins va a dividir:

$\int \cos{\left(6 x \right)}\,dx = \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6} + C$

Si desenvolupessis $\left(4 x - 2\right)^{3}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $3$ a $4$ i divideix per $4$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $4$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $4$:

$\int \left(4 x - 2\right)^{3}\,dx = \frac{\left(4 x - 2\right)^{4}}{16} + C$

Que és el mateix que $16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.