Exercicis d'integrals

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 4 x + 5 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \text{ i } x = 5$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-1}^{5} \left[(4 x + 5) - (x^{2})\right] dx = 36$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $x \left(x - 4\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 4$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{4} (x^{2} - 4 x)\,dx = - \frac{32}{3}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{32}{3} \approx 10.6667$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $2 x^{5}$. L'exponent puja de $5$ a $6$ i dividim per $6$: $\frac{x^{6}}{3}$.

El $-3$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- 3 x$.

$\int 2 x^{5} - 3\,dx = \frac{x^{6}}{3} - 3 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $2 x^{5} - 3$.

En derivar $e^{4 x}$ sortia un $4$ multiplicant. Integrar és desfer-ho, o sigui que aquí el $4$ va a dividir:

$\int e^{kx}\,dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$

$\int e^{4 x}\,dx = \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Comprovació ràpida: si ho deriva, el $4$ torna a pujar i es cancel·la amb el denominador.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = x + 4$ i $u' = 1$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{1}{x + 4}\,dx = \ln\left|x + 4\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $x + 4$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el cosinus es tornava menys sinus. Per tant, integrar un sinus dona menys cosinus.

I com sempre a les integrals, el $3$ de dins va a dividir:

$\int \sin{\left(3 x \right)}\,dx = - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3} + C$

Si desenvolupessis $\left(2 x - 2\right)^{6}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $6$ a $7$ i divideix per $7$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $2$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $2$:

$\int \left(2 x - 2\right)^{6}\,dx = \frac{\left(2 x - 2\right)^{7}}{14} + C$

Que és el mateix que $\frac{64 x^{7}}{7} - 64 x^{6} + 192 x^{5} - 320 x^{4} + 320 x^{3} - 192 x^{2} + 64 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{3}}{3} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = 12 \qquad F(1) = \frac{4}{3}$

$\int_{1}^{3} x^{2} + 1\,dx = 12 - \frac{4}{3} = \frac{32}{3}$

En decimals, $10.67$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 5 x + 6 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \text{ i } x = 6$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-1}^{6} \left[(5 x + 6) - (x^{2})\right] dx = \frac{343}{6} \approx 57.1667$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $2 x \left(x - 1\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 1$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{1} (2 x^{2} - 2 x)\,dx = - \frac{1}{3}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{1}{3} \approx 0.3333$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.