Exercicis d'integrals

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $6 x^{4}$. L'exponent puja de $4$ a $5$ i dividim per $5$: $\frac{6 x^{5}}{5}$.

El $5$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $5 x$.

$\int 6 x^{4} + 5\,dx = \frac{6 x^{5}}{5} + 5 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $6 x^{4} + 5$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 5 x - 2$ i $u' = 5$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{5}{5 x - 2}\,dx = \ln\left|5 x - 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $5 x - 2$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = x^{3} + 4 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = 16 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} + 4\,dx = 16 - 0 = 16$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $6 x^{5}$. L'exponent puja de $5$ a $6$ i dividim per $6$: $x^{6}$.

El $7$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $7 x$.

$\int 6 x^{5} + 7\,dx = x^{6} + 7 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $6 x^{5} + 7$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 5 x + 4$ i $u' = 5$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{5}{5 x + 4}\,dx = \ln\left|5 x + 4\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $5 x + 4$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = x^{3} + 4 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = 39 \qquad F(1) = 5$

$\int_{1}^{3} 3 x^{2} + 4\,dx = 39 - 5 = 34$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $6 x^{6}$. L'exponent puja de $6$ a $7$ i dividim per $7$: $\frac{6 x^{7}}{7}$.

El $-1$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- x$.

$\int 6 x^{6} - 1\,dx = \frac{6 x^{7}}{7} - x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $6 x^{6} - 1$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 5 x + 5$ i $u' = 5$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{5}{5 x + 5}\,dx = \ln\left|5 x + 5\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $5 x + 5$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = x^{3} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = 30 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} 3 x^{2} + 1\,dx = 30 - 0 = 30$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $8 x$. L'exponent puja de $1$ a $2$ i dividim per $2$: $4 x^{2}$.

El $2$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $2 x$.

$\int 8 x + 2\,dx = 4 x^{2} + 2 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $8 x + 2$.