Exercicis d'integrals

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = x + 2$ i $u' = 1$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{1}{x + 2}\,dx = \ln\left|x + 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $x + 2$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el sinus donava cosinus sense signe. Per tant, integrar un cosinus dona sinus, també sense signe.

I com sempre a les integrals, el $1$ de dins va a dividir:

$\int \cos{\left(x \right)}\,dx = \sin{\left(x \right)} + C$

Si desenvolupessis $\left(2 x + 1\right)^{3}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $3$ a $4$ i divideix per $4$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $2$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $2$:

$\int \left(2 x + 1\right)^{3}\,dx = \frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{8} + C$

Que és el mateix que $2 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{2}}{2} - 3 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = - \frac{9}{2} \qquad F(1) = - \frac{5}{2}$

$\int_{1}^{3} x - 3\,dx = - \frac{9}{2} - (-\frac{5}{2}) = -2$

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 2 x + 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \text{ i } x = 3$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-1}^{3} \left[(2 x + 3) - (x^{2})\right] dx = \frac{32}{3} \approx 10.6667$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $x \left(x - 2\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 2$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{2} (x^{2} - 2 x)\,dx = - \frac{4}{3}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{4}{3} \approx 1.3333$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $2 x^{3}$. L'exponent puja de $3$ a $4$ i dividim per $4$: $\frac{x^{4}}{2}$.

El $-1$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- x$.

$\int 2 x^{3} - 1\,dx = \frac{x^{4}}{2} - x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $2 x^{3} - 1$.

En derivar $e^{- x}$ sortia un $-1$ multiplicant. Integrar és desfer-ho, o sigui que aquí el $-1$ va a dividir:

$\int e^{kx}\,dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$

$\int e^{- x}\,dx = - e^{- x} + C$

Comprovació ràpida: si ho deriva, el $-1$ torna a pujar i es cancel·la amb el denominador.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = x + 3$ i $u' = 1$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{1}{x + 3}\,dx = \ln\left|x + 3\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $x + 3$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el cosinus es tornava menys sinus. Per tant, integrar un sinus dona menys cosinus.

I com sempre a les integrals, el $2$ de dins va a dividir:

$\int \sin{\left(2 x \right)}\,dx = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + C$