Exercicis d'integrals

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{2 x^{5}}{5} + 4 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{546}{5} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} 2 x^{4} + 4\,dx = \frac{546}{5} - 0 = \frac{546}{5}$

En decimals, $109.2$.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $6 x$. L'exponent puja de $1$ a $2$ i dividim per $2$: $3 x^{2}$.

El $-1$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- x$.

$\int 6 x - 1\,dx = 3 x^{2} - x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $6 x - 1$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 5 x + 1$ i $u' = 5$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{5}{5 x + 1}\,dx = \ln\left|5 x + 1\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $5 x + 1$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{3 x^{2}}{2}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = 6 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} 3 x\,dx = 6 - 0 = 6$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $6 x^{2}$. L'exponent puja de $2$ a $3$ i dividim per $3$: $2 x^{3}$.

El $-3$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- 3 x$.

$\int 6 x^{2} - 3\,dx = 2 x^{3} - 3 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $6 x^{2} - 3$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 5 x + 2$ i $u' = 5$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{5}{5 x + 2}\,dx = \ln\left|5 x + 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $5 x + 2$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{3 x^{2}}{2} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{33}{2} \qquad F(1) = \frac{5}{2}$

$\int_{1}^{3} 3 x + 1\,dx = \frac{33}{2} - \frac{5}{2} = 14$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $6 x^{3}$. L'exponent puja de $3$ a $4$ i dividim per $4$: $\frac{3 x^{4}}{2}$.

El $5$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $5 x$.

$\int 6 x^{3} + 5\,dx = \frac{3 x^{4}}{2} + 5 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $6 x^{3} + 5$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 5 x + 3$ i $u' = 5$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{5}{5 x + 3}\,dx = \ln\left|5 x + 3\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $5 x + 3$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{9}{2} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} 3 x - 3\,dx = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$

En decimals, $4.5$.