Exercicis d'integrals

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = 21 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} 2 x^{2} + 1\,dx = 21 - 0 = 21$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $5 x$. L'exponent puja de $1$ a $2$ i dividim per $2$: $\frac{5 x^{2}}{2}$.

El $-1$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- x$.

$\int 5 x - 1\,dx = \frac{5 x^{2}}{2} - x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $5 x - 1$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 4 x + 1$ i $u' = 4$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{4}{4 x + 1}\,dx = \ln\left|4 x + 1\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $4 x + 1$ en pot ser.

Si desenvolupessis $\left(5 x + 3\right)^{5}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $5$ a $6$ i divideix per $6$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $5$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $5$:

$\int \left(5 x + 3\right)^{5}\,dx = \frac{\left(5 x + 3\right)^{6}}{30} + C$

Que és el mateix que $\frac{3125 x^{6}}{6} + 1875 x^{5} + \frac{5625 x^{4}}{2} + 2250 x^{3} + \frac{2025 x^{2}}{2} + 243 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{4}}{2}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = 8 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} 2 x^{3}\,dx = 8 - 0 = 8$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $5 x^{2}$. L'exponent puja de $2$ a $3$ i dividim per $3$: $\frac{5 x^{3}}{3}$.

El $-1$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- x$.

$\int 5 x^{2} - 1\,dx = \frac{5 x^{3}}{3} - x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $5 x^{2} - 1$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 4 x + 2$ i $u' = 4$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{4}{4 x + 2}\,dx = \ln\left|4 x + 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $4 x + 2$ en pot ser.

Si desenvolupessis $\left(5 x + 5\right)^{6}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $6$ a $7$ i divideix per $7$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $5$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $5$:

$\int \left(5 x + 5\right)^{6}\,dx = \frac{\left(5 x + 5\right)^{7}}{35} + C$

Que és el mateix que $\frac{15625 x^{7}}{7} + 15625 x^{6} + 46875 x^{5} + 78125 x^{4} + 78125 x^{3} + 46875 x^{2} + 15625 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{4}}{2}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{81}{2} \qquad F(1) = \frac{1}{2}$

$\int_{1}^{3} 2 x^{3}\,dx = \frac{81}{2} - \frac{1}{2} = 40$

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $5 x^{3}$. L'exponent puja de $3$ a $4$ i dividim per $4$: $\frac{5 x^{4}}{4}$.

El $2$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $2 x$.

$\int 5 x^{3} + 2\,dx = \frac{5 x^{4}}{4} + 2 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $5 x^{3} + 2$.