Exercicis d'integrals

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 4 x + 3$ i $u' = 4$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{4}{4 x + 3}\,dx = \ln\left|4 x + 3\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $4 x + 3$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{4}}{2}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{81}{2} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} 2 x^{3}\,dx = \frac{81}{2} - 0 = \frac{81}{2}$

En decimals, $40.5$.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $5 x^{4}$. L'exponent puja de $4$ a $5$ i dividim per $5$: $x^{5}$.

El $2$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $2 x$.

$\int 5 x^{4} + 2\,dx = x^{5} + 2 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $5 x^{4} + 2$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 4 x - 2$ i $u' = 4$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{4}{4 x - 2}\,dx = \ln\left|4 x - 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $4 x - 2$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{2 x^{5}}{5} - 3 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = \frac{34}{5} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} 2 x^{4} - 3\,dx = \frac{34}{5} - 0 = \frac{34}{5}$

En decimals, $6.8$.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $5 x^{5}$. L'exponent puja de $5$ a $6$ i dividim per $6$: $\frac{5 x^{6}}{6}$.

El $9$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $9 x$.

$\int 5 x^{5} + 9\,dx = \frac{5 x^{6}}{6} + 9 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $5 x^{5} + 9$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 4 x + 4$ i $u' = 4$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{4}{4 x + 4}\,dx = \ln\left|4 x + 4\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $4 x + 4$ en pot ser.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{2 x^{5}}{5} + 4 x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{546}{5} \qquad F(1) = \frac{22}{5}$

$\int_{1}^{3} 2 x^{4} + 4\,dx = \frac{546}{5} - \frac{22}{5} = \frac{524}{5}$

En decimals, $104.8$.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $5 x^{6}$. L'exponent puja de $6$ a $7$ i dividim per $7$: $\frac{5 x^{7}}{7}$.

El $5$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $5 x$.

$\int 5 x^{6} + 5\,dx = \frac{5 x^{7}}{7} + 5 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $5 x^{6} + 5$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 4 x + 5$ i $u' = 4$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{4}{4 x + 5}\,dx = \ln\left|4 x + 5\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $4 x + 5$ en pot ser.