Exercicis d'integrals

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \text{ i } x = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}}^{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}} \left[(x + 2) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{3}}{3} + \frac{2 \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{2}}{2} + \frac{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}\right)^{2}}{2} + \sqrt{17} \approx 2.9205$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $3 x \left(x - 1\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 1$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{1} (3 x^{2} - 3 x)\,dx = - \frac{1}{2}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $3 x^{4}$. L'exponent puja de $4$ a $5$ i dividim per $5$: $\frac{3 x^{5}}{5}$.

El $9$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $9 x$.

$\int 3 x^{4} + 9\,dx = \frac{3 x^{5}}{5} + 9 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $3 x^{4} + 9$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 2 x - 2$ i $u' = 2$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{2}{2 x - 2}\,dx = \ln\left|2 x - 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $2 x - 2$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el sinus donava cosinus sense signe. Per tant, integrar un cosinus dona sinus, també sense signe.

I com sempre a les integrals, el $5$ de dins va a dividir:

$\int \cos{\left(5 x \right)}\,dx = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5} + C$

Si desenvolupessis $\left(3 x - 2\right)^{6}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $6$ a $7$ i divideix per $7$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $3$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $3$:

$\int \left(3 x - 2\right)^{6}\,dx = \frac{\left(3 x - 2\right)^{7}}{21} + C$

Que és el mateix que $\frac{729 x^{7}}{7} - 486 x^{6} + 972 x^{5} - 1080 x^{4} + 720 x^{3} - 288 x^{2} + 64 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{5}}{5}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = \frac{32}{5} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} x^{4}\,dx = \frac{32}{5} - 0 = \frac{32}{5}$

En decimals, $6.4$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 2 x + 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} \text{ i } x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}}^{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}} \left[(2 x + 3) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{3}}{3} - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2} + \frac{2 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{3}}{3} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2} + 3 \sqrt{7} \approx 6.1734$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $3 x \left(x - 2\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 2$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{2} (3 x^{2} - 6 x)\,dx = -4$

4 — Valor absolut:

$A = 4$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $3 x^{5}$. L'exponent puja de $5$ a $6$ i dividim per $6$: $\frac{x^{6}}{2}$.

El $-3$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $- 3 x$.

$\int 3 x^{5} - 3\,dx = \frac{x^{6}}{2} - 3 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $3 x^{5} - 3$.