Exercicis d'integrals

Si desenvolupessis $\left(5 x + 5\right)^{2}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $2$ a $3$ i divideix per $3$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $5$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $5$:

$\int \left(5 x + 5\right)^{2}\,dx = \frac{\left(5 x + 5\right)^{3}}{15} + C$

Que és el mateix que $\frac{25 x^{3}}{3} + 25 x^{2} + 25 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = \frac{16}{3} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} 2 x^{2}\,dx = \frac{16}{3} - 0 = \frac{16}{3}$

En decimals, $5.333$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 3 - 2 x \quad\Longrightarrow\quad x = - \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2} \text{ i } x = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{- \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}}^{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}} \left[(3 - 2 x) - (2 x^{2})\right] dx = \frac{2 \left(- \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{3}}{3} - \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2} - \frac{2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{3}}{3} + \left(- \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}\right)^{2} + 3 \sqrt{7} \approx 6.1734$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $4 x^{5}$. L'exponent puja de $5$ a $6$ i dividim per $6$: $\frac{2 x^{6}}{3}$.

El $5$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $5 x$.

$\int 4 x^{5} + 5\,dx = \frac{2 x^{6}}{3} + 5 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $4 x^{5} + 5$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 3 x + 4$ i $u' = 3$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{3}{3 x + 4}\,dx = \ln\left|3 x + 4\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $3 x + 4$ en pot ser.

Si desenvolupessis $\left(5 x - 2\right)^{3}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $3$ a $4$ i divideix per $4$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $5$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $5$:

$\int \left(5 x - 2\right)^{3}\,dx = \frac{\left(5 x - 2\right)^{4}}{20} + C$

Que és el mateix que $\frac{125 x^{4}}{4} - 50 x^{3} + 30 x^{2} - 8 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{2 x^{3}}{3} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = 21 \qquad F(1) = \frac{5}{3}$

$\int_{1}^{3} 2 x^{2} + 1\,dx = 21 - \frac{5}{3} = \frac{58}{3}$

En decimals, $19.33$.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $4 x^{6}$. L'exponent puja de $6$ a $7$ i dividim per $7$: $\frac{4 x^{7}}{7}$.

El $5$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $5 x$.

$\int 4 x^{6} + 5\,dx = \frac{4 x^{7}}{7} + 5 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $4 x^{6} + 5$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 3 x + 5$ i $u' = 3$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{3}{3 x + 5}\,dx = \ln\left|3 x + 5\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $3 x + 5$ en pot ser.

Si desenvolupessis $\left(5 x + 5\right)^{4}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $4$ a $5$ i divideix per $5$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $5$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $5$:

$\int \left(5 x + 5\right)^{4}\,dx = \frac{\left(5 x + 5\right)^{5}}{25} + C$

Que és el mateix que $125 x^{5} + 625 x^{4} + 1250 x^{3} + 1250 x^{2} + 625 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.