Exercicis d'integrals

Si desenvolupessis $\left(2 x - 2\right)^{4}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $4$ a $5$ i divideix per $5$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $2$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $2$:

$\int \left(2 x - 2\right)^{4}\,dx = \frac{\left(2 x - 2\right)^{5}}{10} + C$

Que és el mateix que $\frac{16 x^{5}}{5} - 16 x^{4} + 32 x^{3} - 32 x^{2} + 16 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{2}}{2}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{9}{2} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} x\,dx = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$

En decimals, $4.5$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$x^{2} = 3 x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \text{ i } x = 4$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{-1}^{4} \left[(3 x + 4) - (x^{2})\right] dx = \frac{125}{6} \approx 20.8333$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $x \left(x - 3\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 3$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{3} (x^{2} - 3 x)\,dx = - \frac{9}{2}$

4 — Valor absolut:

$A = \frac{9}{2} \approx 4.5000$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $2 x^{4}$. L'exponent puja de $4$ a $5$ i dividim per $5$: $\frac{2 x^{5}}{5}$.

El $7$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $7 x$.

$\int 2 x^{4} + 7\,dx = \frac{2 x^{5}}{5} + 7 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $2 x^{4} + 7$.

En derivar $e^{5 x}$ sortia un $5$ multiplicant. Integrar és desfer-ho, o sigui que aquí el $5$ va a dividir:

$\int e^{kx}\,dx = \frac{e^{kx}}{k} + C$

$\int e^{5 x}\,dx = \frac{e^{5 x}}{5} + C$

Comprovació ràpida: si ho deriva, el $5$ torna a pujar i es cancel·la amb el denominador.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = x - 2$ i $u' = 1$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{1}{x - 2}\,dx = \ln\left|x - 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $x - 2$ en pot ser.

Compte amb els signes, que van al revés que a les derivades.

En derivar, el sinus donava cosinus sense signe. Per tant, integrar un cosinus dona sinus, també sense signe.

I com sempre a les integrals, el $2$ de dins va a dividir:

$\int \cos{\left(2 x \right)}\,dx = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + C$

Si desenvolupessis $\left(2 x + 1\right)^{5}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $5$ a $6$ i divideix per $6$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $2$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $2$:

$\int \left(2 x + 1\right)^{5}\,dx = \frac{\left(2 x + 1\right)^{6}}{12} + C$

Que és el mateix que $\frac{16 x^{6}}{3} + 16 x^{5} + 20 x^{4} + \frac{40 x^{3}}{3} + 5 x^{2} + x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{3}}{3} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = \frac{14}{3} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} x^{2} + 1\,dx = \frac{14}{3} - 0 = \frac{14}{3}$

En decimals, $4.667$.