Exercicis d'integrals

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = \frac{x^{5}}{5}$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(3) = \frac{243}{5} \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{3} x^{4}\,dx = \frac{243}{5} - 0 = \frac{243}{5}$

En decimals, $48.6$.

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 4 x + 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ i } x = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{1 - \frac{\sqrt{14}}{2}}^{1 + \frac{\sqrt{14}}{2}} \left[(4 x + 5) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(1 + \frac{\sqrt{14}}{2}\right)^{3}}{3} - 2 \left(1 - \frac{\sqrt{14}}{2}\right)^{2} + \frac{2 \left(1 - \frac{\sqrt{14}}{2}\right)^{3}}{3} + 2 \left(1 + \frac{\sqrt{14}}{2}\right)^{2} + 5 \sqrt{14} \approx 17.4611$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Aquí hi ha la trampa que més punts fa perdre: la integral no és l'àrea quan la funció és negativa.

1 — Punts de tall amb l'eix. La funció és $3 x \left(x - 4\right)$, que s'anul·la a $x = 0$ i $x = 4$. Entre aquests dos punts no torna a tallar l'eix.

2 — Signe. Provant un punt de dins, la funció és negativa a tot l'interval: la corba va per sota de l'eix.

3 — Integrar:

$\int_0^{4} (3 x^{2} - 12 x)\,dx = -32$

4 — Valor absolut:

$A = 32$

Si l'interval tingués trossos per sobre i per sota de l'eix, s'hauria de partir la integral als punts de tall i sumar els valors absoluts de cada tros. Sumar-ho tot de cop faria que les parts es cancel·lessin.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $4 x$. L'exponent puja de $1$ a $2$ i dividim per $2$: $2 x^{2}$.

El $9$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $9 x$.

$\int 4 x + 9\,dx = 2 x^{2} + 9 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $4 x + 9$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 3 x + 1$ i $u' = 3$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{3}{3 x + 1}\,dx = \ln\left|3 x + 1\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $3 x + 1$ en pot ser.

Si desenvolupessis $\left(4 x - 2\right)^{4}$ tindries un polinomi llarguíssim. No cal.

Tracta el parèntesi com una sola cosa i aplica-hi la regla de la potència: puja l'exponent de $4$ a $5$ i divideix per $5$.

Però hi falta una cosa: en derivar sortiria un $4$ de dins del parèntesi. Per compensar-ho, dividim també per $4$:

$\int \left(4 x - 2\right)^{4}\,dx = \frac{\left(4 x - 2\right)^{5}}{20} + C$

Que és el mateix que $\frac{256 x^{5}}{5} - 128 x^{4} + 128 x^{3} - 64 x^{2} + 16 x + C$ si ho desenvolupes, però ningú no ho fa.

Una integral definida es fa en dos passos.

Pas 1 — la primitiva (sense la constant, que aquí no cal perquè es cancel·la):

$F(x) = x^{2} + x$

Pas 2 — la regla de Barrow, que diu $\int_a^b f = F(b) - F(a)$:

$F(2) = 6 \qquad F(0) = 0$

$\int_{0}^{2} 2 x + 1\,dx = 6 - 0 = 6$

1 — Punts de tall. Igualem les dues funcions:

$2 x^{2} = 5 x + 6 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4} \text{ i } x = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}$

Aquests dos valors són els límits d'integració. Aquest pas no es pot saltar: si te'ls donen fets, comprova'ls igualment.

2 — Quina va a dalt? Entre els dos punts de tall, prova un valor intermedi. Aquí la recta queda per sobre de la paràbola.

3 — Integrar la de dalt menys la de baix:

$A = \int_{\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4}}^{\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}} \left[(5 x + 6) - (2 x^{2})\right] dx = - \frac{2 \left(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{3}}{3} - \frac{5 \left(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{2}}{2} + \frac{2 \left(\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{3}}{3} + 3 \sqrt{73} + \frac{5 \left(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{73}}{4}\right)^{2}}{2} \approx 25.9880$

Si ho fessis al revés et sortiria el mateix número però negatiu, i una àrea no ho pot ser. Aquesta és la comprovació més fàcil de totes.

Integrar és desfer una derivada, així que la regla de la potència va a l'inrevés: en comptes de baixar l'exponent, el pugem.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

El $4 x^{2}$. L'exponent puja de $2$ a $3$ i dividim per $3$: $\frac{4 x^{3}}{3}$.

El $9$. Integrar una constant dona la constant per $x$: $9 x$.

$\int 4 x^{2} + 9\,dx = \frac{4 x^{3}}{3} + 9 x + C$

Si el vols comprovar, deriva el resultat: has de tornar a obtenir $4 x^{2} + 9$.

Mira si el numerador és la derivada del denominador. Aquí $u = 3 x + 2$ i $u' = 3$, que és exactament el que hi ha a dalt. Quan passa això:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

$\int \frac{3}{3 x + 2}\,dx = \ln\left|3 x + 2\right| + C$

El valor absolut hi és perquè el logaritme no accepta números negatius, i $3 x + 2$ en pot ser.