Identitats notables i factorització: de la suma al producte

Factoritzar és escriure una suma com un producte, i és l'operació que fa possible resoldre equacions, simplificar fraccions algebraiques i trobar arrels. La raó de fons és una propietat molt simple: un producte és zero quan algun dels factors és zero. Amb una suma, en canvi, no se'n pot dir res.

El que has de dominar abans: productes de polinomis i la distributiva.

Les tres identitats notables

No s'han de memoritzar: surten de desenvolupar el producte.

$$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2},$$ $$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2},$$ $$(a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}.$$

La primera, desenvolupada: $(a+b)(a+b)$ dona $a^{2}$, $ab$, $ba$ i $b^{2}$, i els dos del mig són iguals i sumen $2ab$. D'aquí ve el doble producte.

La tercera és la més útil de totes per factoritzar, perquè els termes del mig es cancel·len: $ab$ i $-ab$. Permet reconèixer qualsevol diferència de quadrats d'un cop d'ull.

En quin ordre provar les tècniques

Factoritzar no és una recepta única: és triar. L'ordre que convé provar és sempre el mateix:

1. Factor comú. Mira si tots els termes comparteixen alguna cosa, número o lletra, i treu-la fora. És el primer pas sempre, i sovint simplifica tant que la resta és evident.

2. Identitats notables. Si queden dos termes i tots dos són quadrats amb signes contraris, és una diferència de quadrats. Si en queden tres i el del mig és el doble producte dels altres dos, és un quadrat perfecte.

3. Arrels i factors. Si $P(r) = 0$, llavors $x-r$ és un factor de $P(x)$. Per a un polinomi de grau dos amb coeficient principal u, és qüestió de buscar dos números que sumin el coeficient de $x$ i multipliquin el terme constant.

La regla de Ruffini

És una manera abreujada de dividir per $x-r$. El procediment: ordena els coeficients posant un zero on falti un grau, baixa el primer, multiplica per $r$, suma al següent, i repeteix. L'últim número és el residu.

És ràpida i còmoda, però és només un atall de la divisió: la comprovació continua sent la identitat $P = (x-r)\,Q + R$.

Exercici resolt: factoritzar i resoldre

Factoritza $3x^{2}-12x$ i resol $3x^{2}-12x=0$.

Factor comú. Tots dos termes tenen un $3$ i una $x$:

$$3x^{2} - 12x = 3x(x-4).$$

Comprovació: $3x\cdot x = 3x^{2}$ i $3x\cdot(-4) = -12x$ ✓

Resol l'equació amb el producte nul. Si $3x(x-4) = 0$, algun factor ha de ser zero. El $3$ no pot ser-ho, de manera que

$$x = 0 \qquad\text{o}\qquad x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4.$$

Solucions: $x=0$ i $x=4$.

Comprovació a l'equació original. A $x=0$: $0-0=0$ ✓ A $x=4$: $3\cdot 16 - 48 = 48-48 = 0$ ✓

L'error que aquest exercici vol evitar. Dividir els dos membres per $3x$ deixaria $x-4=0$ i només la solució $x=4$. La solució $x=0$ es perdria, i perdre una solució en una equació de segon grau és perdre la meitat de la resposta.

La regla general: quan una equació està igualada a zero i es pot factoritzar, no es divideix mai: s'iguala cada factor a zero.

Exercici resolt: factoritzar un trinomi i comprovar

Factoritza $x^{2}-5x+6$ i explica com comprovar la resposta sense resoldre cap equació.

Busca dos números que sumin $-5$ (el coeficient de $x$) i multipliquin $6$ (el terme constant).

Com que el producte és positiu i la suma negativa, tots dos han de ser negatius. Les parelles que multipliquen $6$ són $(-1,-6)$ i $(-2,-3)$. La que suma $-5$ és la segona.

$$x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).$$

La comprovació que es demana: multiplicar.

$$(x-2)(x-3) = x^{2} - 3x - 2x + 6 = x^{2} - 5x + 6 \quad\checkmark$$

Per què aquesta comprovació és la bona. No necessita resoldre res ni substituir cap valor: desenvolupa el producte i compara terme a terme amb l'original. Si tots els coeficients coincideixen, la factorització és correcta per a tots els valors de $x$, no només per a alguns.

Una comprovació ràpida complementària. Mira si els signes són coherents abans de desenvolupar: el producte dels dos números ha de donar el terme constant ($-2\cdot-3 = 6$ ✓) i la suma ha de donar el coeficient lineal ($-2-3 = -5$ ✓). Amb aquests dos controls, l'error de signe és pràcticament impossible.

I un comentari de mètode. Amb coeficient principal diferent d'u, per exemple $2x^{2}-5x-3$, aquesta tècnica de la suma i el producte ja no s'aplica directament, i convé anar a la fórmula de segon grau del tema A08. Saber quan una tècnica deixa de valer és tan útil com saber aplicar-la.

On ho faràs servir

La factorització és la clau de les equacions de segon grau i de grau superior: igualar a zero i factoritzar és el camí més curt sempre que es pugui fer.

També serveix per simplificar fraccions algebraiques, que és el que faràs a quart i a batxillerat: per simplificar $\frac{x^{2}-4}{x+2}$ cal factoritzar el numerador com $(x+2)(x-2)$, i només llavors es pot cancel·lar.

I les identitats notables apareixen a tot arreu, de la geometria (en el teorema de Pitàgores i les àrees) al càlcul de límits de batxillerat. Són tres fórmules que val la pena reconèixer d'un cop d'ull, i reconèixer-les és molt més útil que saber-les recitar.