Exercicis d'EDO lineals d'ordre superior

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - 1 = 0$

Les arrels són $r_1 = 1$ i $r_2 = -1$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{x} + B e^{-x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 0, \qquad A - B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{1}{2}$ i $B = - \frac{1}{2}$.

$y(x) = \sinh{\left(x \right)}$

Pas 1 — equació característica. $r^{2} - 2r + 1 = 0$ es factoritza com $(r - 1)^{2} = 0$: arrel doble $r = 1$.

Pas 2 — base de solucions. Amb una sola arrel, $e^{x}$ només dona una direcció i l'espai de solucions en necessita dues. La segona és $x e^{x}$:

$y = (A + Bx)e^{x}$

Pas 3 — dades inicials. A $x = 0$, $y(0) = A = 1$. Derivant,

$y' = \left(B + (A+Bx)\right)e^{x}, \qquad y'(0) = B + A = 0$

d'on $B = -1$.

$y(x) = \left(1 - x\right) e^{x}$

No et saltis el factor $x$: sense ell el sistema de les dades inicials no té solució.

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} + 1$ és negatiu, i les arrels són $r = \pm i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = A\cos x + B\sin x$

Aquí $\alpha = 0$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 1$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 1$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = B = 0$, o sigui $B = 0$.

$y(x) = \cos{\left(x \right)}$

Pas 1 — l'homogènia. Cal saber quines funcions l'anul·len abans de provar res.

Pas 2 — comparar amb el forçament. En aquest cas, $\cos x$ ja és solució de l'homogènia, o sigui que cal multiplicar per $x$.

Per tant l'assaig correcte és $Ax\cos x + Bx\sin x$.

Si proves un assaig que ja és solució de l'homogènia, en substituir-lo et sortirà $0 =$ forçament, que és impossible. Aquesta és la manera que té l'exercici d'avisar-te que t'has saltat la ressonància.

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{2x}$, aleshores $y_p' = 2Ae^{2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{2x}$, que se simplifica:

$\left(4 + 1\right)A = 1$

El parèntesi val $5$, o sigui

$A = \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Com que el parèntesi no és zero, $2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - 1 = 0$

Les arrels són $r_1 = 1$ i $r_2 = -1$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{x} + B e^{-x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 1, \qquad A - B = 0$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{1}{2}$ i $B = \frac{1}{2}$.

$y(x) = \cosh{\left(x \right)}$

Pas 1 — equació característica. $r^{2} - 2r + 1 = 0$ es factoritza com $(r - 1)^{2} = 0$: arrel doble $r = 1$.

Pas 2 — base de solucions. Amb una sola arrel, $e^{x}$ només dona una direcció i l'espai de solucions en necessita dues. La segona és $x e^{x}$:

$y = (A + Bx)e^{x}$

Pas 3 — dades inicials. A $x = 0$, $y(0) = A = 0$. Derivant,

$y' = \left(B + (A+Bx)\right)e^{x}, \qquad y'(0) = B + A = 1$

d'on $B = 1$.

$y(x) = x e^{x}$

No et saltis el factor $x$: sense ell el sistema de les dades inicials no té solució.

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} + 1$ és negatiu, i les arrels són $r = \pm i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = A\cos x + B\sin x$

Aquí $\alpha = 0$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 1$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 0$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = B = 1$, o sigui $B = 1$.

$y(x) = \sin{\left(x \right)}$

Pas 1 — l'homogènia. Cal saber quines funcions l'anul·len abans de provar res.

Pas 2 — comparar amb el forçament. En aquest cas, la freqüència $2$ no coincideix amb la de l'homogènia, que és $1$: no hi ha ressonància.

Per tant l'assaig correcte és $A\cos 2x + B\sin 2x$.

Si proves un assaig que ja és solució de l'homogènia, en substituir-lo et sortirà $0 =$ forçament, que és impossible. Aquesta és la manera que té l'exercici d'avisar-te que t'has saltat la ressonància.

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{2x}$, aleshores $y_p' = 2Ae^{2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{2x}$, que se simplifica:

$\left(4 + 3 \cdot 2 + 2\right)A = 1$

El parèntesi val $12$, o sigui

$A = \frac{1}{12} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$

Com que el parèntesi no és zero, $2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.