Exercicis d'EDO lineals d'ordre superior

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} + 4r + 13$ és negatiu, i les arrels són $r = -2 \pm 3i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = e^{-2x}\left(A\cos 3x + B\sin 3x\right)$

Aquí $\alpha = -2$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 3$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 0$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = -2A + 3B = 1$, o sigui $B = \frac{1}{3}$.

$y(x) = \frac{e^{- 2 x} \sin{\left(3 x \right)}}{3}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-2x}$, aleshores $y_p' = -2Ae^{-2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{-2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-2x}$, que se simplifica:

$\left(4 + 1\right)A = 2$

El parèntesi val $5$, o sigui

$A = \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \approx 0.4000$

Com que el parèntesi no és zero, $-2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - 5r + 6 = 0$

Les arrels són $r_1 = 2$ i $r_2 = 3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{2x} + B e^{3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 0, \qquad 2A + 3B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = -1$ i $B = 1$.

$y(x) = \left(e^{x} - 1\right) e^{2 x}$

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} - 2r + 10$ és negatiu, i les arrels són $r = 1 \pm 3i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = e^{x}\left(A\cos 3x + B\sin 3x\right)$

Aquí $\alpha = 1$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 3$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 1$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = A + 3B = 0$, o sigui $B = - \frac{1}{3}$.

$y(x) = \left(- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-2x}$, aleshores $y_p' = -2Ae^{-2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{-2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-2x}$, que se simplifica:

$\left(4 - 1 \cdot (-2) - 2\right)A = 2$

El parèntesi val $4$, o sigui

$A = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \approx 0.5000$

Com que el parèntesi no és zero, $-2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - 5r + 6 = 0$

Les arrels són $r_1 = 2$ i $r_2 = 3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{2x} + B e^{3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 1, \qquad 2A + 3B = 0$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 3$ i $B = -2$.

$y(x) = \left(3 - 2 e^{x}\right) e^{2 x}$

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} - 2r + 10$ és negatiu, i les arrels són $r = 1 \pm 3i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = e^{x}\left(A\cos 3x + B\sin 3x\right)$

Aquí $\alpha = 1$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 3$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 0$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = A + 3B = 1$, o sigui $B = \frac{1}{3}$.

$y(x) = \frac{e^{x} \sin{\left(3 x \right)}}{3}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-2x}$, aleshores $y_p' = -2Ae^{-2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{-2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-2x}$, que se simplifica:

$\left(4 + 1\right)A = 5$

El parèntesi val $5$, o sigui

$A = \frac{5}{5} = 1$

Com que el parèntesi no és zero, $-2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} - 5r + 6 = 0$

Les arrels són $r_1 = 2$ i $r_2 = 3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{2x} + B e^{3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 2, \qquad 2A + 3B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 5$ i $B = -3$.

$y(x) = \left(5 - 3 e^{x}\right) e^{2 x}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-2x}$, aleshores $y_p' = -2Ae^{-2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{-2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-2x}$, que se simplifica:

$\left(4 - 1 \cdot (-2) - 2\right)A = 5$

El parèntesi val $4$, o sigui

$A = \frac{5}{4} = \frac{5}{4} \approx 1.2500$

Com que el parèntesi no és zero, $-2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.