Exercicis d'EDO lineals d'ordre superior

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 3r + 2 = 0$

Les arrels són $r_1 = -1$ i $r_2 = -2$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{-x} + B e^{-2x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 0, \qquad -A - 2B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 1$ i $B = -1$.

$y(x) = \left(e^{x} - 1\right) e^{- 2 x}$

Pas 1 — equació característica. $r^{2} + 6r + 9 = 0$ es factoritza com $(r + 3)^{2} = 0$: arrel doble $r = -3$.

Pas 2 — base de solucions. Amb una sola arrel, $e^{-3x}$ només dona una direcció i l'espai de solucions en necessita dues. La segona és $x e^{-3x}$:

$y = (A + Bx)e^{-3x}$

Pas 3 — dades inicials. A $x = 0$, $y(0) = A = 1$. Derivant,

$y' = \left(B - 3(A+Bx)\right)e^{-3x}, \qquad y'(0) = B - 3A = 0$

d'on $B = 3$.

$y(x) = \left(3 x + 1\right) e^{- 3 x}$

No et saltis el factor $x$: sense ell el sistema de les dades inicials no té solució.

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} - 4r + 5$ és negatiu, i les arrels són $r = 2 \pm i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = e^{2x}\left(A\cos x + B\sin x\right)$

Aquí $\alpha = 2$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 1$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 0$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = 2A + B = 1$, o sigui $B = 1$.

$y(x) = e^{2 x} \sin{\left(x \right)}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-2x}$, aleshores $y_p' = -2Ae^{-2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{-2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-2x}$, que se simplifica:

$\left(4 + 1\right)A = 1$

El parèntesi val $5$, o sigui

$A = \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \approx 0.2000$

Com que el parèntesi no és zero, $-2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 3r + 2 = 0$

Les arrels són $r_1 = -1$ i $r_2 = -2$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{-x} + B e^{-2x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 1, \qquad -A - 2B = 0$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 2$ i $B = -1$.

$y(x) = \left(2 e^{x} - 1\right) e^{- 2 x}$

Pas 1 — equació característica. $r^{2} + 6r + 9 = 0$ es factoritza com $(r + 3)^{2} = 0$: arrel doble $r = -3$.

Pas 2 — base de solucions. Amb una sola arrel, $e^{-3x}$ només dona una direcció i l'espai de solucions en necessita dues. La segona és $x e^{-3x}$:

$y = (A + Bx)e^{-3x}$

Pas 3 — dades inicials. A $x = 0$, $y(0) = A = 0$. Derivant,

$y' = \left(B - 3(A+Bx)\right)e^{-3x}, \qquad y'(0) = B - 3A = 1$

d'on $B = 1$.

$y(x) = x e^{- 3 x}$

No et saltis el factor $x$: sense ell el sistema de les dades inicials no té solució.

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} + 4r + 13$ és negatiu, i les arrels són $r = -2 \pm 3i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = e^{-2x}\left(A\cos 3x + B\sin 3x\right)$

Aquí $\alpha = -2$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 3$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 1$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = -2A + 3B = 0$, o sigui $B = \frac{2}{3}$.

$y(x) = \left(\frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x}$

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{-2x}$, aleshores $y_p' = -2Ae^{-2x}$ i $y_p'' = 4Ae^{-2x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{-2x}$, que se simplifica:

$\left(4 - 1 \cdot (-2) - 2\right)A = 1$

El parèntesi val $4$, o sigui

$A = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \approx 0.2500$

Com que el parèntesi no és zero, $-2$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 3r + 2 = 0$

Les arrels són $r_1 = -1$ i $r_2 = -2$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{-x} + B e^{-2x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 2, \qquad -A - 2B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = 5$ i $B = -3$.

$y(x) = \left(5 e^{x} - 3\right) e^{- 2 x}$

Pas 1 — equació característica. $r^{2} + 6r + 9 = 0$ es factoritza com $(r + 3)^{2} = 0$: arrel doble $r = -3$.

Pas 2 — base de solucions. Amb una sola arrel, $e^{-3x}$ només dona una direcció i l'espai de solucions en necessita dues. La segona és $x e^{-3x}$:

$y = (A + Bx)e^{-3x}$

Pas 3 — dades inicials. A $x = 0$, $y(0) = A = 2$. Derivant,

$y' = \left(B - 3(A+Bx)\right)e^{-3x}, \qquad y'(0) = B - 3A = 3$

d'on $B = 9$.

$y(x) = \left(9 x + 2\right) e^{- 3 x}$

No et saltis el factor $x$: sense ell el sistema de les dades inicials no té solució.