Exercicis d'EDO lineals d'ordre superior

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 2r - 3 = 0$

Les arrels són $r_1 = 1$ i $r_2 = -3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{x} + B e^{-3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 0, \qquad A - 3B = 1$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{1}{4}$ i $B = - \frac{1}{4}$.

$y(x) = \frac{\left(e^{4 x} - 1\right) e^{- 3 x}}{4}$

Pas 1 — equació característica. $r^{2} + 2r + 1 = 0$ es factoritza com $(r + 1)^{2} = 0$: arrel doble $r = -1$.

Pas 2 — base de solucions. Amb una sola arrel, $e^{-x}$ només dona una direcció i l'espai de solucions en necessita dues. La segona és $x e^{-x}$:

$y = (A + Bx)e^{-x}$

Pas 3 — dades inicials. A $x = 0$, $y(0) = A = 1$. Derivant,

$y' = \left(B - (A+Bx)\right)e^{-x}, \qquad y'(0) = B - A = 0$

d'on $B = 1$.

$y(x) = \left(x + 1\right) e^{- x}$

No et saltis el factor $x$: sense ell el sistema de les dades inicials no té solució.

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} - 2r + 2$ és negatiu, i les arrels són $r = 1 \pm i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = e^{x}\left(A\cos x + B\sin x\right)$

Aquí $\alpha = 1$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 1$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 1$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = A + B = 0$, o sigui $B = -1$.

$y(x) = \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Pas 1 — l'homogènia. Cal saber quines funcions l'anul·len abans de provar res.

Pas 2 — comparar amb el forçament. En aquest cas, $r=-1$ és arrel simple de $r^2+3r+2$.

Per tant l'assaig correcte és $Axe^{-x}$.

Si proves un assaig que ja és solució de l'homogènia, en substituir-lo et sortirà $0 =$ forçament, que és impossible. Aquesta és la manera que té l'exercici d'avisar-te que t'has saltat la ressonància.

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{3x}$, aleshores $y_p' = 3Ae^{3x}$ i $y_p'' = 9Ae^{3x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{3x}$, que se simplifica:

$\left(9 + 1\right)A = 1$

El parèntesi val $10$, o sigui

$A = \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \approx 0.1000$

Com que el parèntesi no és zero, $3$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.

Pas 1 — equació característica. Substituint $y = e^{rx}$ i dividint per l'exponencial:

$r^{2} + 2r - 3 = 0$

Les arrels són $r_1 = 1$ i $r_2 = -3$.

Pas 2 — solució general.

$y = A e^{x} + B e^{-3x}$

Pas 3 — imposar les dues dades. A $x = 0$ les exponencials valen $1$, o sigui

$A + B = 1, \qquad A - 3B = 0$

(la segona surt de derivar primer i després substituir, mai al revés). Resolent el sistema, $A = \frac{3}{4}$ i $B = \frac{1}{4}$.

$y(x) = \frac{\left(3 e^{4 x} + 1\right) e^{- 3 x}}{4}$

Pas 1 — equació característica. $r^{2} + 2r + 1 = 0$ es factoritza com $(r + 1)^{2} = 0$: arrel doble $r = -1$.

Pas 2 — base de solucions. Amb una sola arrel, $e^{-x}$ només dona una direcció i l'espai de solucions en necessita dues. La segona és $x e^{-x}$:

$y = (A + Bx)e^{-x}$

Pas 3 — dades inicials. A $x = 0$, $y(0) = A = 0$. Derivant,

$y' = \left(B - (A+Bx)\right)e^{-x}, \qquad y'(0) = B - A = 1$

d'on $B = 1$.

$y(x) = x e^{- x}$

No et saltis el factor $x$: sense ell el sistema de les dades inicials no té solució.

Pas 1 — arrels. El discriminant de $r^{2} - 2r + 2$ és negatiu, i les arrels són $r = 1 \pm i$.

Pas 2 — passar a forma real. Una parella $\alpha \pm \beta i$ dona

$y = e^{x}\left(A\cos x + B\sin x\right)$

Aquí $\alpha = 1$ controla si l'oscil·lació creix o s'apaga i $\beta = 1$ n'és la freqüència.

Pas 3 — dades inicials. $y(0) = A = 0$. Derivant i substituint $x = 0$ surt $y'(0) = A + B = 1$, o sigui $B = 1$.

$y(x) = e^{x} \sin{\left(x \right)}$

Pas 1 — l'homogènia. Cal saber quines funcions l'anul·len abans de provar res.

Pas 2 — comparar amb el forçament. En aquest cas, $r=-3$ no és arrel de $r^2+3r+2$.

Per tant l'assaig correcte és $Ae^{-3x}$.

Si proves un assaig que ja és solució de l'homogènia, en substituir-lo et sortirà $0 =$ forçament, que és impossible. Aquesta és la manera que té l'exercici d'avisar-te que t'has saltat la ressonància.

Pas 1 — derivar l'assaig. Si $y_p = Ae^{3x}$, aleshores $y_p' = 3Ae^{3x}$ i $y_p'' = 9Ae^{3x}$.

Pas 2 — substituir. Tots els termes porten $e^{3x}$, que se simplifica:

$\left(9 + 3 \cdot 3 + 2\right)A = 1$

El parèntesi val $20$, o sigui

$A = \frac{1}{20} = \frac{1}{20} \approx 0.0500$

Com que el parèntesi no és zero, $3$ no és arrel característica i no hi ha ressonància: l'assaig directe era correcte.